高中数学教学中重视类比教学

　　在各种逻辑推理方法中，类比是最富于创造性的一种方法，是提出新问题、作出新发现的一个重要源泉。

　　类比推理是指两类对象具有某些类似特征，并由其中一类对象的某些已知特征推出另一类对象也具有这些特征的推理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。类比能够将复杂问题简单化，将陌生问题熟悉化，将抽象问题形象化。类比可以帮助理解和记忆不同层次的类似数学内容，诱导寻求解题思路的变迁和发散，也可以获得命题的推广和延伸，培养学生的创新精神和能力。以下笔者结合自己的教学实践，谈谈类比在高中数学教学中的应用。
　　一、 运用类比，沟通新旧知识，帮助学生迅速突破重难点
　　学习新知识时，很多学生会感到陌生、惧怕，而数学中的概念、定理、公式本身往往具有一定的承继与延续，通过与熟悉的原有知识作类比，我们能更好地认识、了解新的知识，从而建立起适当的心理表征。它有利于学生加深对知识的理解，同时帮助学生梳理新知识的脉络与体系，突破难点，降低教学难度。
　　例1 在进行“二面角”概念的教学时，我们可以进行如表1所示的类比。
　　因为学生的知识库中已有平面中的角概念，由它的图形、定义、构成、表示等方面推广到空间角（二面角）的概念，学生听起来会比较亲切自然，掌握的效率也就会更好，降低了教学难度。
　　教材不仅是传播知识的工具，更是训练和培养学生思维能力的素材。教材中的概念、公式和定理都蕴涵着丰富的数学思想和方法。如何帮助学生把所要学的数学知识理解得更深、记得更牢、应用得更广？类比以其独特的方式别具一番风味。
　　二、 运用类比，构建知识网络，使知识条理化
　　有些内容知识点过于分散，并且概念方法多，层次不清，学生不易掌握。运用类比，构建起网状的知识结构，不仅能让学生明白知识间的异同点，又能将零散的知识构成网络，对知识的理解更深一层。
　　例2 在双曲线教学时，我们可以采用如表2所示的类比。
　　在双曲线的教学中，通过与椭圆的方程、图形、几何性质等类比，可以使椭圆与双曲线的图形、方程及几何性质得以系统化。
　　三、 运用类比，启迪思维，培养学生解决问题的能力
　　德国著名哲学家康德说过：每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。当人们面临一个比较生疏的问题时，往往可以联想一个比较熟悉的问题作为类比对象，熟悉问题的解决途径和方法可以启发我们得到生疏问题的解决途径和方法。
　　例3 对于任意x，y，z∈R+，求证：+＞。
　　【分析】从所证不等式的各因式结构看，与余弦定理c2=a2+b2-2abcosC有相似之处（只要C=120°）。故要证明的这个不等式可通过结构类比去构造有一个角为120°的三角形。现任取平面上的一点O，作圆周角的三等分线，在三条射线上分别截取OA=x，OB=y，OC=z，这样A，B，C即构成一个三角形。而＝AB，＝AC，＝BC，由三角形两边之和大于第三边，得以证明。
　　类比必须满足一个前提条件——具有某些属性的相同或相似性。本题正是从结构的相似处，通过类比，找到了数与形的统一，从而避免烦琐的化简，体验了数学简洁美的享受。在解题过程中，特别是碰到难题时，可以通过结构形式的类比作为突破口，培养学生的解题能力。
　　四、 运用类比，进行猜想，培养学生的创造性思维
　　类比是一种猜测问题的答案或发现结论的思维方式，很多数学新命题是由类比、猜测并加以证明得到的。如空间图形的很多性质都可以从平面图形的性质中进行类比去探索。平面图形与空间图形的类比往往遵循“点→线、线→面、边长→面积、面积→体积、线线角→二面角、三角形→四面体”等特征。通过类比，学生可以独立自主地获取知识。
　　例4 在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF?EFcos∠DFE。拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。
　　【解析】根据类比猜想得出S2___AA1C1C＝S2___ABB1A1+S2___BCC1B1-2S___ABB1A1?S___BCC1B1cosθ。其中θ为侧面ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角.
　　【证明】作斜三棱柱ABC-A1B1C1的直截面DEF，则∠DFE为面ABB1A1与面BCC1B1所成角。在△DEF中有余弦定理DE2 ＝ DF 2 + EF 2 - 2DF?EFcos∠θ，同乘以AA21，得DE2?AA21=DF2?AA21+EF2?AA21-2DF?AA1?EF?AA1cos∠θ，即S2___AA1C1C ＝ S2___ABB1A1+ S2___BCC1B1 - 2S___ABB1A1?S___BCC1B1cosθ。
　　此题是由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广。显然，类比是数学发现的重要源泉，它可以培养学生的创造性思维。
　　波利亚说过，如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域，本来可以发现的东西，也可能无从发现。类比可以拓展学生的数学能力，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。