数学课程标准制定中若干问题的思考

　　《课程、教材、教法》1999年第5期发表了"数学课程标准研制小组"的《关于我国数学课程标准研制的初步设想》（以下简称《初步设想》）。与我国现行数学教学大纲相比，《初步设想》从指导思想、数学课程目标体系、教学内容的选择、组织和实施，都采取了非常彻底的改革，按照标准研制小组的思路，"新国家课程标准不能在老标准基础上做一些修修补补，而应当是一次根本性的变革。""我国的数学教学将迎来一次重大变革"（见《文汇报》1999年10月16日第1版）。但是《初步设想》中的有些提法是否符合教育改革的客观规律，是否有利于我国数学教育事业的健康顺利发展，似值得广大数学教育工作者进一步思考。

　　一、如何评价我国数学教育的历史和现状

　　对我国数学教育的历史和现状作怎样的评价，将直接决定我国数学课程标准的指导思想。如果持基本否定态度，那么今后的数学课程只能另起炉灶，不但要实行"变革"，而且还应当进行革命。如果认为我国数学教育取得了巨大成绩，同时又有与社会发展不相适应的地方（而且有的还比较严重），那么就应当采取在继承的基础上进行改革的指导思想，当然，这也不是"在老标准基础上作一些修修补补"。

　　近来社会上有这样一些说法，认为，"现行中小学数学课程处于一种十分尴尬的局面。一方面，我们现行的中小学数学内容一些学生学不好，学不了，成为数学学习上的失败者；另一方面，很多非常有价值的内容我们的学生没有机会接触，特别表现在空间图形和统计这两个方面，与国际相比差距非常大。我们的图形几何内容在小学阶段就是计算，中学阶段就是推理论证"。"我们现在的数学学习是使得其中5%的人取得所谓的成功上大学，而95%的人成为失败者"。"现代数学的本质已经发生了很大的变化，但我们的数学课程仍然停留在20世纪初期的数学观念上，就是把数学等同于计算、推理、证明"。"如把简单问题复杂化（如要求学生回答'为什么5+3=8'），用数学家的思维来要求孩子；人为制造难度（如要求学生掌握'乘数和被乘数'概念）；解题方法机械僵化，不允许孩子有自己的方法等等，这些弊端给孩子们学习数学带来很大困难，并且也影响儿童的思维、情感、态度和价值观。"（参阅《北京青年报》1999年5月21日第4版）还认为，我国数学教育是"七分不足三分成绩"，对我国数学教育的历史和现状持基本否定态度。

　　笔者认为，对我国数学教育的过去和现在持否定态度是没有根据的。事实是我国中小学数学教育水平堪称世界一流，这是国内外专家学者所公认的。在使学生深刻理解数学基础知识、牢固掌握数学基本技能、提高学生运算能力、思维能力和空间想象能力等方面，我们都有非常成功的经验，取得的成绩也是举世瞩目的。近年来，我国数学教育界在提高学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力方面也极其重视，并且已探索出了许多成功的经验。我国学生在国际数学奥林匹克竞赛中连年取得佳绩、在国际数学水平测试中名列前茅，这些都是我国数学教育水平高的有力证据，我国数学教育水平高的另一个证据是，在第三次国际数学和科学研究的测试中，深受中国传统文化影响的亚洲参加国的测试成绩遥遥领先于其他国家。因此，中国中小学数学教育的高水平成绩绝不是偶然的，是有厚重的历史积淀的，是几代、十几代数学教育工作者辛勤劳动、共同智慧的结晶，是应该充分肯定的。

　　当然，肯定成绩不等于固步自封。数学教育应当跟上时代发展的步伐，当前数学教育中存在着急需改革的内容。例如，内容更新步伐落后于时代要求，教师的数学教育理论修养有待提高，教学方法改革不力，评价方法单一、落后，联系实际不够，学生、教师的自主权有限、选择余地不大，等等。事实上，数学教育在任何时候都是需要改革的。但是，这不能成为否定我国数学教育的历史、否定已有的巨大成绩的理由。在数学教育改革中，应该对我国数学教育的经验和教训进行深入分析、认真反思，实事求是地、客观公正地对历史做出评价，以区分出哪些是成功的，哪些是需要改进的。这样才能使我们保持清醒的头脑，使我们有清晰的改革思路。应当坚持辩证唯物主义和历史唯物主义，既要指出问题，又要肯定成绩，既要坚定不移地实行改革，又要坚持我们的优良传统。数学教育改革应当是渐变，而不能搞革命。国内外数学教育改革中有许多值得记取的经验教训，其中最重要的一条就是革命式的教育改革是不可能取得成功的。数学教育只能走量变的累积式改革之路。数学教育改革应当通过科学研究、论证，实事求是地提出改革方案，并要有相当范围的科学试验。如果离开我国数学教育的优秀传统，撇开中国基础教育现实所给定的前提条件，缺乏结合中国具体国情而对国外数学教育改革理论进行理性分析，会给我国数学教育改革带来盲目性，其后果是使得中国数学教育失去应有的批判能力，无法看清别人的优劣，也无法判定自己的长处和短处，不知道自己究竟应该向国外学什么，不知道自己究竟应该坚持什么和改革什么，最后也无法完成真正的超越。

　　二、"大众数学"的真正含义究竟是什么

　　有人认为数学可以作了如下区分："大众数学"和"精英数学"，与此相对应，又把数学分为"好数学"和"坏数学"。这里，"大众"还是"精英"的标准是以"人人都能掌握"来判别，"好"还是"坏"的标准是以有用还是无用来判别。其理念是'人人学有用的数学；有用的数学应当为人人所学；不同的人学不同的数学'。"

　　应当说，数学教育"大众化"，使所有学生都享受高水平的数学教育，是新中国成立以来我国数学教育所一直追求的目标，这是由社会主义中国的教育性质所决定的。实施九年义务教育制度为实现数学教育的上述目标提供了法律保证。而上述的"大众数学"一词的提出却与国际上的"mathematicsforall"这一口号直接有关。在1983年华沙国际数学大会的数学教育会议上，德国数学家达米洛夫首次提出"mathematicsforall"的口号，从字面上可翻译为"数学为大众"，它的本意是阐述数学教育必须面对所有学生这一数学教育的指导思想。它主要是针对教育民主问题而言的，强调的是人人享有接受高水平数学教育的权利，这是社会发展对数学教育提出的新要求。有人误认为数学教育"大众化"是这次会议体首先提出来的，"mathematicsforall"翻译为"大众数学"后引入中国，并把它作为自己的一个旗号，提出在数学课程改革上要实行"大众数学"。笔者认为，对于资本主义社会来说，"大众数学"只是一种理想状态，并且带有一定的虚伪性。对我国来说，数学教育"大众化"对数学教育提出了更高的要求。实现"人人接受高水平数学教育"这个理想，与人类社会发展密切相关，教育平等是以社会平等为基础的。中国有自己的国情，是穷国办大教育，社会中实际存在着不平等，在没有消除社会不平等现象之前，教育的平等是难以实现的。我国义务教育的主要问题是农村问题，如果农村的问题解决了，数学教育的"大众化"才能算是解决了。

　　另一个是教学内容的选择标准问题。社会需要与学生心理发展的需要始终是选择的标准，但是这并不等于"实用主义"。到底什么叫有用，什么叫无用？这个分寸应当很好地把握。可以用来买菜、算账就是有用吗？或者更高级一点，可以用来计算利息、看懂股市行情就是有用吗？再高级一点，能够用来解决某个实际问题就是有用吗？都是，但又都不完全是。我们认为，任何数学知识都是有用的，而且数学知识的作用是动态的，即它要随着时间与空间的变化而变化，这样，把数学区分为"好数学"与"坏数学"是没有意义的。另外，数学不仅仅是实用技术，它的作用是非常广泛的。数学教育在素质教育中承担着非常独特的任务，学生的逻辑推理技能、抽象思维能力的培养主要依靠数学教育。因此，在数学教学中对学生进行系统的逻辑推理训练始终是最重要的，这与发展学生的创新精神和创造力不但没有矛盾，而且是相辅相成的，因为在当今信息社会中，对瞬息万变的信息的判断和选择能力至关重要，而这种能力的基础就是逻辑推理能力。没有一定的逻辑推理能力作为基础，创造力、解决问题的能力等都将成为空中楼阁，解决问题的过程也只能是尝试错误式的，其质量和效率都是无法保证的。没有系统的逻辑推理训练，数学的思维方式就不可能建立起来，数学的精神、思想和意义等也无法体验和领悟，现代人所必备的素质，如：坚忍不拔而又客观公正的为人品格，严格而周密的思维习惯，善于把握事物的主要矛盾、洞察事物本质，把握全局、明辨是非的能力，对不断变化的现实世界的快速反应、灵活应变的能力等，也无法在数学教学中得到落实。因此，数学的有用或无用，不能仅仅看它是否能够在现实中得到直接应用，还应当看到它在提高学生素质上的作用。从某种意义上说，技术是可以通过适当的训练而学会的，但是智力的开发是有时机的，在相应的发展阶段如果得不到应有的培养，学生的智力就会失去发展机会。我们认为，究竟如何选择数学内容，归根结底还是要由社会发展、数学发展和学生发展这三方面的需要来决定。在教学内容的选择上，应当有更远的眼光，不但要强调实用性、与现实生活的联系性，还要强调系统性，更要强调它的教育功能，即在培养学生素质上的作用。数学发展到今天，应用数学与纯粹数学的界限已不再泾渭分明，因此，数学教学内容的选择也不能只以实际生活中是否有用作为取舍的标准。

　　另外，教师与教学的问题也是数学教育是否能在高水平的意义下实现"大众化"的关键。从数学教育改革的全局来看，如果教师与教学的问题得不到很好解决，那么，课程改革的理想就无法在数学教学中得到真正落实。

　　三、数学学习是累积的、接受式的还是纯粹建构式的

　　《初步设想》中提到，"儿童有一种与生俱来的，以自我为中心的探索性学习方式，他们的知识经验是在与客观世界的相互作用中逐渐形成的；有意义的学习应是儿童以一种积极的心态，调动原有的知识经验，认识新问题，同化新知识，并构建他们自己的意义；每个儿童都有各自的知识背景，家庭环境和特定的社会文化氛围，这种差异导致不同的儿童有不同的思维方式和解决问题的策略。

　　笔者认为："对学生学习的这些看法，有如下两个明显不足：第一，只强调学生学习的个性而忽视共性；第二，没有体现教育在学生成长中的决定性作用。应当说，就当前数学教育实践来说，强调学生学习的个体性、差异性，对于使教师在教学中充分尊重学生的主体地位，发挥学生的主体性，调动学生数学学习的积极性，使学生成为数学学习的主人，使学生得到充分发展以及根据学生不同的情况实行因材施教等，是有积极意义的。但是，但是，作为课程标准，只强调个性而忽视共性有是有缺陷的。片面强调个性对学生的发展并没有好处，甚至有可能导致个人主义。另外，学生的学习不可能是完全自发的，教育在学生发展中的作用始终是关键的。我们必须非常清楚地认识到，学生的学习活动应当在教师的指导、帮助下来完成，否则，这种学习活动的效率和效果都无法保证。纯粹由学生自己独立完成的对知识意义的构建是不存在的，至少是不全面的。我们认为，教育是从人类社会的存在与发展以及人类个体的社会化需要出发，通过社会经验的传递来造就社会成员的一种人际交往系统。因此，学生的数学学习是一个占有传授者所提供的经验，掌握前人创造的经验，把别人发现的经验转化为自己的经验，使其成为自己解决实际问题的工具的过程，是一种接受学习。由于经验是在主客体相互作用的基础上，主体反映客体时所产生的主观产物，因此，经验的传递与接受不能象物体的传递与接受那样，从一个人的手中直接传递到另一个人的手中。教师首先要把自己的主观经验赋予一定的客观形式，即必须借助于声音、文字等，进行编码，使其成为经验的载体，成为所要传递信息的信号，才能进行经验的传递。而学生所直接接收到的不是现成的经验本身，而是教师用以传递经验的媒体或信号。学生必须在自己的接收系统中，进行一系列的加工处理，进行各种形式、各种水平的变换，才能获得媒体或信号所负载的经验或信息，也即要完成一系列的译码、编码活动，在头脑中重新构建这种经验结构，才能完成经验的接收。从这个意义上说，学生的数学学习是建构式的，需要学生自己进行一系列积极主动的心理变换，即能动的反映活动才能实现。但是，我们又必须看到，学生的建构活动不是独立的，而是有条件的建构活动所需的材料是由经验传授者提供的，建构活动的过程是由经验传授者安排的。

　　正因为如此，我们在强调问题解决对于数学教育的重要意义时，千万不能忘记，它是在教师的指导下才能有效完成的，而且必须以对基本概念的理解、基本技能的掌握为前提。在数学教学中，应当掌握好问题解决、概念理解和基本技能间的平衡。这样，在数学内容的组织上，"以问题解决为主线"是否可行也是值得商榷的。

　　四、数学能力的提法是否应当"淡化"

　　在研制新标准中，有人认为，在数学教学中，应当采取"务实的态度，淡化能力的提法"，并且列举了世界某些发达国家的数学课程标准中关于数学能力的种种"取向"作为依据。在《初步设想》中真正实现了淡化：初中做到了"只字未提"能力，高中提到了"根据学生已有知识基础及其生活经验，逐步重视数学自身的逻辑体系，培养学生抽象思维能力和分析问题、解决问题的能力"。而运算能力、思维能力和空间想象能力都被"请出"了课程标准。

　　我们暂且不论西方是否真的是"淡化数学能力"（实际上，各国的数学课程标准中都有关于数学能力的要求，只是提法有些不同而已。如美国的有关文献中认为，"数学能力指学生能够辨别各种关系，进行逻辑推理，用多种数学方法解决各种各样非常规问题，……"并且还将数学能力具体化，如能熟练地完成心算和估计，能判断别人提供的数量结果的正确性，能把模糊不清的问题用明晰的语言表达出来，会选择有效的解题策略，等等，不能因为这些提法中不带"能力"二字就认为西方不重视数学能力），仅就明确地提出数学能力的概念并且对它作出清楚的界定和分类，对于提高数学教学的质量和效率所起的巨大作用来说，也不能搞什么"淡化"。我国对数学能力的界定是科学的，这有利于被数学教师在自己的数学教学实践中确切地把握，使数学教学有明确的方向和目标，有明确的评价标准，这是我们的长处，是体现中国数学教育特色的地方，应当很好地坚持。我们应当做的是进一步将所提出的数学能力具体化，落实在具体的数学内容中，落实到数学课堂上去。当然，我国的数学能力结构体系也需要进一步完善，需要结合具体内容提出相应的数学能力指标体系，这个工作任务是非常艰巨的。在教学实践中也确实存在着通过大量练习来培养学生的基本数学能力、对培养解决"非常规问题"以及应用数学解决实际问题的能力重视不够等不足。但是我们必须清醒地认识到，通过练习掌握数学是数学学习的基本方法，数学教学中存在的问题不是因为重视数学能力而引起的，而是因为教学实践中没有正确领会数学能力的真正含义，采取了不正确的教学指导思想和方法所至。我们不能因噎废食，因为对数学能力理解上的问题、在教学实践中出现偏差而放弃自己先进的、正确的东西。实际上，我国数学教育界已经非常清楚地看到了自己的问题，多年来一直在努力寻求解决的方法，特别是在培养学生的创造精神和创造力、独立获取数学知识的能力以及应用数学解决实际问题的能力等方面，已经做出了很大的努力，而且在培养数学能力方面已经有了许多成功经验，如以培养学生的数学概括能力为基础，以培养数学思维品质为突破口的方法；从培养和训练学生的数学思想方法入手培养数学能力等等。笔者认为，针对我国数学教育中存在的问题进行改革，目标会更加明确，效果会更加明显。

　　在数学教育研究中，一定要牢记数学的高度抽象性这一最本质的特征。正因为有这一特征，使得数学教育在培养学生的思维能力，特别是培养抽象逻辑思维能力方面担负了最为主要的任务，决定了数学教学在发展学生智力上的重要意义，决定了数学学习在培养学生的思维能力特别是逻辑思维能力方面的特殊作用。我们一定要十分注意数学的教育功能。在强调数学与学生生活实际相联系、用数学的思维方式去观察、分析现实社会、去解决日常生活中的问题时，一定要注意到，它们都是建立在高质量的逻辑推理能力的基础上的。没有一定的数学思维能力作保证，数学的应用只能是尝试错误、胡想乱猜。因此，在纠正过去过分强调形式逻辑推理的偏差时，千万不能矫枉过正而走向另一个极端，数学能力不仅不能淡化，而且还应当强化。

　　在制定我国数学课程标准时必须牢记，中国的数学课程标准不能是西方数学课程标准的中国版。