新编高中数学教材中球面积、球体积公式处理方案的考虑

一、问题的提出
　　国家教委基础教育司编订的《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》（1996年5月版，以下简称新大纲），在必修课的“直线、平面、简单几何体”部分的教学目标中，列入了“掌握球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。”

　　球是一种基本旋转几何体，它的表面积和体积公式是有广泛应用的基本度量公式。在现行《高级中学课本立体几何（全一册）》中，是如下处理这两个公式的。先讲球的表面积公式,后讲球体积公式。为讲前者，首先证明了预备定理“若球面内接圆台的高为h，球心到母线的距离为p,则圆台的侧面积为”。然后根据预备定理，利用分割逼近的方法，给出球面积公式。为讲体积公式，需先引入祖氏原理“夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若截得的两个截面的面积总相等，则这两个几何体的体积相等。”然后应用祖氏原理，通过比较半球体与内挖圆锥的圆柱体，得出球体积公式。

　　多年的教学实践证明，在原教材总体系中上述处理方式是比较合理的。在逻辑上比较周密，教学上也比较自然顺畅。然而，原立体几何教材体系也存在过于强调内容与体系的完整严密，内容多且旧的问题。原《立体几何（全一册）》总课时设计为57，其中“直线和平面”部分为28课时，“多面体和旋转体”部分为29课时。在几何体中包括了棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，球、球冠、球缺等。对立体几何安排如此多的教学内容和课时，在目前世界各国的中学数学教材中已不多见。为了精简传统内容，给增加新内容提供课时，以适应21世纪的需要，新大纲对立体几何的教学内容做了必要的调整，以“直线、平面、简单几何体”为标题安排立体几何内容，总课时为36。在保留原来的“直线和平面”部分主要内容的基础上，简化了几何体部分，重点讲棱柱、棱锥、正多面体和球。对于圆柱、圆锥、棱台和圆台，则不作为教学内容列出。从中学数学课程和教材的全局来看，以上调整是必要的，也是比较合理的。第一，这样做保留了三维空间几何的最基础的内容，即空间的线线、线面、面面关系。掌握了这些核心内容，就得到立体几何的精髓，就可以不太费力地进而学习立体几何的其他内容，同时也为学习其他涉及立体几何知识的相关分支和学科储备了基本够用的基础知识。第二，这样做精简了基本几何体，分散处理基本几何体及有关计算问题，节约了课时，为高中数学增加概率与统计、微积分等近代数学知识让出了时间。

　　鉴于上述新大纲的调整，教材中关于球面积和体积公式的处理必须做相应变化。其理由主要有：

　　1．教学内容中删除圆台后，原教材中引出球面积公式的预备定理就不能出现了，因此球面积公式的处理不能沿用原教材方式。

　　2．教学目标中未包含体积公理及柱、锥体积的理论推导，而这些内容恰恰是原教材中球体积公式之前的内容。如果不讨论圆柱、圆锥的体积，而直接用它们来推出球的体积公式，就在逻辑上显得很不协调。人们不仅要问：为什么圆柱、圆锥的体积公式不作理论上的推导，而球的体积公式却要推导呢？

　　3．新大纲在限定选修课的理科部分安排了“积分”，其中包括“旋转体的体积”。这就能使部分学生在高中阶段运用定积分完成球体积公式的理论证明，这种证法要比原教材的初等数学证法更具一般性。因此，对选学理科的学生来说，在学习“积分”时讨论球体积公式的理论依据是最适宜的。

　　在新编高中数学教材中，怎样具体处理球面积和体积公式呢？这是一个需要认识思考的问题。下面笔者对所考虑到的几种方案进行分析比较。

　　二、几种方案的分析比较

　　方案1：直接给出两个公式，不在理论上进行证明或说明解释，至多在直观上用实验对公式加以验证，只要求学生理解公式所表示的意义，会利用公式进行计算。

　　分析：这种方案虽然实施起来毫不费力，但是显然过于简单，仅停留在初中一年级“代数式求值”的层次，与高中学生的思维发展水平和求知欲望相差甚远，与新大纲教学目标所要求的“掌握”公式是不一致的。新大纲有关“掌握”的解释是“一般地说，是在理解的基础上，通过练习，形成技能，能够（或会）用它去解决一些问题。”这里所说的“理解”又被解释为“对概念和规律（定律、定理、公式、法则等）达到了理性认识，不仅能够说出概念和规律是什么，而且能够知道它是怎样得出来的，它与其他概念和规律之间的联系，有什么用途。”显然，方案1不能实现新大纲规定的“掌握”级教学目标。

　　此外，虽然用实验的方法可以验证球体积公式，但是验证球面积公式是困难的。这是由于球面是由曲率处处不为零的圆弧所形成的旋转面，不能象圆柱面或圆锥面那样沿一直母线（曲率为零）展成平面图形。

　　方案2：补充圆台等有关内容和体积公理等预备知识，采用原教材方式处理两个公式。

　　分析：这种方案是“退回原来”，为此需要补充一系列超出新大纲规定范围的教学内容，增加较多课时。这与新大纲对立体几何所做调整的初衷相悖。

　　方案3：先给出两个公式，待后面的“积分”部分再解决其“怎样得出”的问题。

　　分析：对球体积公式，这种方案可行。然而，对球面积公式则有困难。因为新大纲在“积分”部分的教学内容中包含“旋转体的体积”，而不含“旋转面的面积”。旋转体的体积V=　

　　较容易推导，而旋转面的面积S=的推导则较复杂。它或者从弧的微分的角度由得出，或者从面积微元（小圆台的侧面积）

　　求和并取极限得出。但是，无论哪种方法都涉及超纲的知识。因此，在新大纲所规定的高中数学范围内用积分法得出球面积公式是难以实现的。

　　还应指出，由于新大纲未在文科和实科的选修课中列入微积分，所以即使对于球体积公式，文、实科学生也不能在高中阶段通过积分掌握。

　　方案4：将球体积公式移前面讲，具体处理方法与原教材一样，即以祖氏原理为依据对比球与内挖圆锥的圆柱体；然后运用“分割，求和，取极限”的思想，利用球体积公式导出球面积公式。具体方法如下：

　　如图1

　　，将球面分割为许多小网格，连接球心和这些小网格的顶点，就得出许多小棱锥。设其中第i个小棱锥的体积为　V,则。

　　h为棱锥的高，棱锥的底面为。

　　当这样的分割不断加密（各小网格越分越小）时，各小棱锥中从球心引出的高就不断接近球半径R，这些小棱锥底面（球心所对的面）的面积之和就不断接近球面积，这些小棱锥的体积图1之和就不断接近球体积，即

　　．

　　当上述分割无限加密时，就有

　　．

　　于是球面积

　　分析：这种方案对将要选修文、理、实各科学生都可用。它不仅可以解决两个公式的推导，更重要的是在球面积公式的导出中渗透了“分割，求和，取极限”和“化曲为直，又积直为曲”的微积分基本思想。这既为理科选修微积分做了铺垫，也有利于文、实科学生了解微积分的思想方法。

　　这种方案中，球体积公式的证明方法属于构造性证法，它是在已有结论的前提下，对固定目标的证明。与用积分法相比，它在普遍性和培养发现未知目标的能力方面都显逊色。此外，这种证法之前要有祖氏原理等预备知识，为使教学内容安排得连续紧凑，同时考虑到在球面积公式的导出中需知棱锥的体积公式，笔者认为应在棱锥部分安排祖氏原理，并解决柱体和锥体的体积公式。这样一方面可使学生对柱体和锥体有完整的认识，另一方面也能引导学生把对体积的认识从观察实验的水平上升到理论分析的水平，而这恰是高中阶段与小学、初中阶段在教学要求上的一个区别。

　　方案5：除球体积公式的给出改为如下方法之外，其他安排处理同方案4。

　　如图2，用一组平行于半球底面的平面将半球分为n小片，每片厚度为,每片体积近似等于,其中可由勾股定理r求得，即i=0,1,2,…,n-1．

　　n片体积之和为。

　　当n时，n片体积之和就无限接近半球的体积。于是半球体积是，球体积是　。

　　分析：这种方案保留了方案4的优点，又对球体积公式的导出做了改进。其所用方法实质上是积分法，只是表达上较简单朴素，虽不十分严格正规，但尚未学极限和微积分的学生有可能接受。由于这种方法体现了“分割，求和，取极限”等微积分基本思想，所以它比方案4的方法更具一般性，因而更有利于培养发现未知结论的能力。还应指出，这种球体积公式的证法与方案4的（也是本方案的）球面积公式的导出方法，在思想上是一致的，连续两次使用这种方法，有利于介绍和强化一种基本的数学思想和方法，也有利于对后续的极限和微积分的学习。关于如何看待这种方案与积分法的关系，笔者认为这种方案是运用积分法的思想，通过通俗易懂的方式和语言（不使用积分的法则和符号），解决和解释简单的具体问题。我们也要看到，由于这种方法包含较深刻的变化思想，涉及“有限与无限”的转化，对学习者来说认识上要有一个新的飞越，所以有一定难度。然而，只要在教材和教法上处理得当，注意深入浅出，从特殊归纳一般，对于高中学生来说飞越这些障碍是完全可能的。

　　以上为简明起见，使用了专用数学符号，在编写教材时要注意以说明道理为主，叙述上要符合学生水平。

　　比较以上几种方案，笔者认为在体现新大纲的精神，实现教学目标，突出基本数学思想方法，适应学生的思维发展水平和注重培养学生的数学能力等方面，相对而言，方案5要优于其他几种。

　　三、对中小学数学关于面积、体积教学的认识

　　面积、体积是基本的几何度量概念。从理论上看，在传统的欧氏几何体系中，这些概念是在有关公理基础上建立和展开的；在近代数学中，集合的测度理论又成为这些概念的基础。数学的教学体系有别于数学的理论体系，它既要照顾知识之间的和谐统一，又要照顾学生的接受能力，做到严谨性与量力性相结合。因此，中小学数关于面积、体积的教学必须由浅入深地分步进行。

　　高中教育是与义务教育接轨的。从我国现行小学、初中义务教育数学教材和新高中数学大纲联系起来看，中小学数学中关于面积、体积的教学大体可分为以下几个阶段：

　　1．建立最基本的概念，通过观察实验建立简单的公式。这个阶段主要在小学进行。最基本的概念包括面积、体积（用平面图形的大小和物体所占空间的大量定义），及由单位正方形、单位正方体引出的面积、体积单位；简单的公式有正方形、矩形、平行四边形、梯形、三角形、圆等的面积，正方体、长方体、圆柱、圆锥等的体积。这些公式多是通过分割、拼合、直观比较等手段得出的。

　　2．在已知简单公式的基础上，通过简单推理建立新公式。这个阶段主要在初中进行。例如，扇形的面积是在圆面积的基础上推出的；圆锥的侧面积又是以扇形面积为基础推出的。这个阶段与前一阶段相比，抽象性有所提高，但推理还属较简单的层次，在较大程度上还要借助直观印象。

　　3．在有关公理的基础上，经分析推理建立新公式。这个阶段主要在高中必修课进行。

　　例如，在祖氏原理的基础上，推出一般柱体（棱柱、圆柱）和锥体（棱锥、圆锥）的体积公式；用方案4或方案5的办法推出球的体积、面积公式等。这个阶段与前一阶段相比，在理论方面要求又进一步。这主要表现在提出了公理，因而不再仅仅依赖于未作明确的、统一的规定的直观经验，而且推理的复杂程度也明显加强，推理中所运用的思想方法更为丰富。

　　4．运用高等数学的方法建立新公式。这个阶段主要在高中理科选修课进行。这主要是以微积分为工具，解决一般的平面图形的面积和旋转体的体积问题。这个阶段与前一阶段的最突出的区别在于它已明确地使用高等数学的思想方法及有关法则和符号表示，方法更具一般性和规范性，解题速度大大提高，解决的问题更广泛。

　　这些阶段分别适应不同年龄段的中小学生的认知能力和思维发展水平，它们互相联系，形成一个相对完整的教学体系。经过这几个阶段循序渐进的学习，就可以具有有关面积、体积的一般基础知识，学会解决问题的普通方法，并锻炼出相应的分析问题、解决问题的能力。

　　研究和编写高中数学教材中有关球面积、球体积的内容，是建设上述教学体系的任务之一，它关系到完成上述第三个教学阶段的最后部分，也涉及第三、四教学阶段的衔接。对此应予以充分重视。

　　参考资料：

　　1．《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》，国家教委基教司编订；

　　2．《九年义务教育六年制小学教科书数学》，人民教育出版社小学数学室编著；

　　3．《九年义务教育三年制初级中学教科书几何》，人民教育出版社中学数学室编著；

　　4．《高级中学课本立体几何全一册（必修）》，人民教育出版社数学室编著；

　　5．《数学分析》，江泽坚等著；

　　6．《数学分析》，复旦大学数学系主编；

　　7．《DiscoveringGeometry》,KeyCurriculumPress,U.S.A.