函数概念的学与教

函数是中学数学的核心内容。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。例如：

　　代数式2a2＋3a－1，可以看成是函数y＝2x2＋3x－1在x＝a时的值；
　　方程f(x)＝0的根可以看成是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标；
　　不等式f(x)＞0的解可以看成是函数y＝f(x)的图像上位于x轴上方部分的点的横坐标集合；
　　等比数列1，2，4，8，…是函数y＝2x（x＝1，2，3，…）的另一种表示；等等。
　　函数性质在等式或不等式的求解、证明中往往是非常有力的工具，例如
　　证明：  ，只要令函数 中的x＝1即可。

　　又如：已知a＞b，那么，  成立的充要条件是（  ）。

　　(A)a＞b＞0  (B)b＜a＜0  (C)a＞0＞b   (D)0＜b＜a＜1。

　　引进函数  ，此函数在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数。易知，当条件A、B或D之一成立时，均有  ，当且仅当C成立时，有  。所以选C。

另外，函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。因此，函数的学习非常重要，应当给予充分的重视。

一、函数概念学习困难的原因分析

教学实践表明，函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一。尽管在实际教学中采取了适当渗透、螺旋上升的方法，分段而有循环地安排函数知识，但学生的函数概念水平仍然较低。造成困难的原因主要有两个方面。

1．函数概念本身的原因。

数学发展史表明，函数概念从产生到完善，经历了漫长而曲折的过程。这不但因为函数概念系统复杂、涉及因素众多，更重要的是伴随着函数概念的不断发展，数学思维方式也发生了重要转折：思维从静止走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系，实现了数与形的有机结合，在符号语言与图、表语言之间可以灵活转换。在函数的研究中，思维超越了形式逻辑的界限，进入了辩证逻辑思维。与常量数学相比，函数概念的抽象性更强、形式化程度更高。

认知心理学认为，个体的心理发展过程是人类社会认识发展过程的简约反映。因此，学生掌握函数概念的过程要简约地重演数学科学发展中对函数的认识过程，普遍出现认识上的困难是比较自然的。另外，从函数概念本身看，以下特点会造成学生理解上的困难。

（1）“变量”概念的复杂性和辩证性。

函数涉及较多的子概念：映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则，等。其中，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性。有的教师将“变量”解释为“变化的量”，显然这是同义反复，于学生理解“变量”的意义并没有帮助。实际上，“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关，但数学中对时、空是没有定义的。

另外，数学中的“变量”与日常生活经验有差异。从日常经验看，“变量”不可能与“确定”联系在一起，而且变量的形式表示之间没有可替代性（例如，“牛吃草”中的变量“牛”与“学生吃饭”中的变量“学生”是不可替代的）。但数学中的“变量”具有形式的可替代性，即y＝f(x)与x＝f(y)并没有本质上的不同，而且它既有可变性又有确定性，它可以很好地反映静止与变化、量变与质变、内容与形式等的辩证关系，因此，变量概念的形成是辩证法在数学中运用的典范。

（2）函数概念表示方式的多样性。

函数概念表示的多样性，一方面表现在定义域、值域表示的多样性，可以用集合、区间、不等式等不同形式表示；另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来。与其他数学概念相比，由于函数概念需要同时考虑几种表示，并要协调各种表示之间的关系，常常需要在各种表示之间进行转换，因此容易造成学习上的困难。

能否正确地使用函数的不同表示形式，灵活地对不同的表示进行转换，是考察函数概念形成水平的重要标准。

（3）函数符号的抽象性。

y＝f(x)表示了一种特殊的对应关系，其中每一个字母都有特定的含义。但这种含义仅从字面上是看不出的。我们不能通过“f”来想象对应法则的具体内容，也不能通过x（或y）来想象定义域（或值域）到底是什么。这种抽象性大大增加了函数学习的难度。

2．学生思维发展水平方面的原因。

心理学认为，学生掌握概念的一般特点是：概念的识别优于概念特征的说明，概念外延的掌握优于概念内涵的掌握。对概念内涵的掌握，取决于概念本质特征的多少以及它们之间的关系。本质属性越多、越鲜明，概念形成越容易；非本质属性越多、越明显，概念形成越难。对于所有概念，都是先掌握具体概念后掌握抽象概念，先掌握形式概念后掌握辩证概念。

函数概念的学习中，要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换。但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的。理解函数概念时，需要学生在头脑中建构一个情景（解析式的、表格的或图形的），使得函数的对应法则能够得到形象的、动态的反映；函数是对应法则、定义域、值域的统一体，学生应当领会它们之间的相互制约关系，对三者进行整体把握。像这种抽象地、动态地、相互联系地、整体地认识研究对象，而且要在头脑中把整个动态过程转化为研究对象来研究，这就需要学生的思维在静止与运动、离散与连续之间进行转化。但是，学生的思维发展水平还处于辩证思维很不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把抽象的概念与具体事例联系起来，还不能够完全胜任这种需要用辩证的思想、运动变化的观点才能理解的学习任务。例如，学生常常认为，x“代表”一个单个的数（可能是未知的）；求函数值就是把数代入“公式”中的字母的运算；学生举出的函数的例子是形如“x2＋2”之类的代数式。学生常常把函数概念与“公式”等同起来，因此函数的动态性、变化性在思维中不能得到充分反应。

总之，学生的辩证逻辑思维处于发展的初级阶段，与函数概念的运动、变化、联系的特点非常不适应，这是构成函数概念学习困难的主要根源。不过，正因为函数概念所具有的这种特性，才使它在促进学生思维发展中起着别的数学内容所无法替代的作用，成为从形式逻辑思维向辩证逻辑思维转化的转折点。

二、函数概念的教学

1.重视函数概念的形成过程。

函数概念产生于研究变量之间关系的需要，函数是描述数学和现实问题的有效工具。学生已有经验中存在许多可以用以说明函数产生过程的实例。例如：

考察多边形的边数与内角和之间的关系，可以用列表的方式来组织信息：

边数 3 4 5 6 7

内角和 180° 360° 540° 720° 900°

通过引导学生对表格进行观察，有的学生会注意到，边数每增加1，内角和增加180°；通过归纳，有的学生会猜测到边数与内角和之间存在下列关系：S-n＝180°(n－2)。这是一个一次函数。这个过程可以使学生建立起对变量之间变化关系的直观感受，这对理解函数概念是很重要的。

为了使学生获得关于猜想正确性的自信心，教师应该鼓励学生采用不同方法来探索同一个问题。例如，上述问题还可以用画图的方法进行探索：

如图1，从四边形到五边形，由于增加了一个三角形，所以内角和增加了180°。

另外，由图还可以得到如下想法：从n边形的一个定点画出所有对角线，恰好得到(n－2)个三角形，于是内角和公式得到确证。

另外，循着“从四边形到五边形，由于增加了一个三角形，所以内角和增加了180°”，还可以用递推的方法：“后继数＝前数＋180°”。

之所以要鼓励学生采用多种表示方式探索规律，目的是为了使学生由此体验函数关系的产生过程，为后面的抽象概念学习打下基础。实际上，在探索过程中，学生可以获得变量之间相互依赖关系的切身感受，这种感受对于理解抽象的函数概念是非常重要的。因此，教学中，教师应当多采用学生熟悉的具体实例，引导学生认识其中的变量关系。另外，在上述过程中，学生所使用的主要是归纳的思维形式：通过归纳，探寻规律。归纳之重要性，不仅在于由它可以猜想结论，可以培养学生的创新思维，而且还在于它采用了由具体到抽象、由特例到一般的形式，这就可以使推理建立在学生已有经验的基础上，这是符合学生的认知规律的。

2．重视对变量概念的理解。

“变量”是函数概念的核心，但发展学生对变量概念的理解需要一个较长的过程。在学习函数概念之前，学生从代数式、方程等内容的学习中获得了关于变量的一定理解。例如，他们已学会解一元一次、二次方程及不等式，二元一次方程组；能够作形如的恒等变形；会使用公式S＝πr2求圆的面积；另外，通过解二元一次方程，他们体验到对于方程y＝2x＋1，可以有无数多个有序数对（x，y）满足它，等等。这些是学生学习“变量”概念的基础。教师应当以此为基础，使学生认识“变量可以在某种约束条件下取不同的值”，以及在这个约束条件下变量之间的对应关系，从而发展学生的变量概念。

3．重视不同表示方式之间的转换。

通常，在人们头脑中，函数的表示主要使用解析式，但实际上各种表示（语言的、图像的、表格的、符号的）之间的相互转换，可以加深学生对函数概念的理解。例如，下面的例子要求从语言表示转化为图像表示：

从上海浦东机场到北京机场的一次飞行中，在允许着陆前必须绕北京机场几周。画出从起飞到着陆这段时间飞机与浦东机场的距离的图像。

学生掌握的函数概念不够清晰时，常常不看图像中表示的变量，并把“与地面的距离”错当成“与浦东机场的距离”，结果画出了如图2的图像。教师应当利用适当的手段（例如用模拟飞行的方法）引导学生认识到，飞机绕圈飞行时，“距离”不是一个圆圈，而是如图3的“振动”。

图2

图3

根据上述图像，教师可以让学生估计某一时刻飞机离浦东机场的距离，哪些时刻离机场距离最远、列出3个与机场距离相等的时间，等。

4．重视函数概念的实际应用。

抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解。在数学内部，可以通过用函数性质比较大小、求解方程、求解不等式、证明不等式等活动，深化对函数概念的理解。

例如，判断方程sinx＝lgx的实根个数。

本题可以通过作函数y＝sinx和y＝lgx图像（如图4），看它们有几个交点而做出判断。

图4

 又如，已知a，b，m∈R+，并且a＜b，求证：

则可以通过证明它在区间（0，∞）上为增函数，立即可以得出证明。

还要注意用函数知识解决实际问题的训练。实际上，函数是非常重要的“数学建模”工具，现实中的许多问题都是通过建立函数模型而得到解决的。同时，在解决实际问题的过程中，学生对函数概念以及与它相关的变量、代数式、方程等知识都能够加深理解。

例如，教师可以给学生设计类似于这样的问题：

假设学校为了开阔学生的视野，培养学生适应社会生活的能力，要开展一次完全由学生自己操办的商品销售活动。你要负责某种商品的进货和定价。从商业角度考虑，你要做出计划，使得这个项目取得最大利益。这时你要考虑哪些问题呢？显然，进货量是要考虑的，否则，不够卖或积压很多都会造成损失。还有，如果这种商品有不同档次的产品，那么还要考虑不同档次的产品如何搭配。这些都需要作市场调查。另外，如果商品的售价太高，那么愿意购买的人就会减少；如果售价太低，那么就会减少利润。因此，合理定价是获得最大利益的又一重要因素。

为了解“市场需求”，你可以先作个“市场调查”：

关于某种档次的商品需求情况调查

关于某种档次的商品需求情况调查

单位（ 元） 你班购买相应价格的商品总数 每班购买的商品的平均数 全校该商品的需求计划数
5 　 　 　
10 　 　 　
15 　 　 　
20 　 　 　
25 　 　 　
 
做出了这个调查后，请解决下列问题：

（1）求出需求函数f(x)，它预测当某种档次的商品定价x元时可以售出的数量。

（2）假如这一档次的商品的进价为7元，求利润函数s(x)，它预测这种商品定价x元时所能够获得的利润。

（3）求获得最大利润时的定价；求出此时该档次商品的售出数，以作为你决定该商品的进货量的依据；求出此时的总利润，以作为你最后核算时的依据。

　在这个过程中，学生不但可以体会到，精确的函数知识可以为实践中做出科学决策提供有力依据，而且还可以体会到，精确的函数知识应用于实践时，常常要根据具体问题选择相应的函数表示方式，并根据问题的发展进程作出适当的调整。显然，对函数概念的这一角度的理解，是难以从纯粹的函数理论学习中获得的。当然，在这一过程中，学生还获得了与函数问题密切相关的关于收集数据以及分析研究数据之间关系的经历，这对于提高学生的数学能力的大有好处的