小学数学如何渗透数学思想和数学方法探究

【摘要】《数学新课标》对小学数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”.在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等.这里需要说明的是，有些数学思想在《数学新课标》中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，贯穿由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。

　　【关键词】小学数学；渗透数学；思想方法
　　数学方法是用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。而一般性数学方法作为数学方法的一种表现形式，与分类讨论法、数学归纳法等特殊性数学方法相比，它更适用于普遍性、基础性和一般性的数学应用领域，与小学生数学认知生活化、主体化、个性化的特点相符合，因此，我们在小学数学教学中应注重一般性数学方法的教学渗透，为学生有效地获得数学知识、建构数学认知、形成数学思想奠定基础。一般性数学方法的常见类型有合情推理、数学抽象、数学化归、数学模型、数形结合等。
　　1、合情推理――数学发现的基本方法
　　合情推理是根据已有事实和正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。在解决问题的过程中，合情推理为猜测、探索提供思路。
　　1.1 采用归纳法进行合情推理：归纳法是从个别事实概括出一般原理的推理方法。例如，在教学《圆的面积》时，教师首先呈现以下图形供学生观察后，设问：请根据圆与大、小正方形位置和大小的的关系，猜想圆面积的计算公式？
　　生1：圆的面积介于小正方形和大正方形之间。
　　生2：圆的面积介于2r2和4r2之间。
　　生3：估计是3r/2左右。
　　1.2 获解原问题的方法。
　　（1）通过特殊值法实现化归：“特殊值法”，就是求解一个较一般数学问题遇到困难时，先考虑这个问题的一种特殊情况，找出一种简单情形进行解决，利用特例的结论再来求解一般问题。
　　例如：求解甲比乙多1/7，乙比甲少几分之几？
　　一般解：根据条件乙为1，甲为1+1/7；先求乙是甲的几分之几？1÷（1+1/7）=7/8；再求乙比甲少几分之几，即1―7/8=1/8。条件和问题中单位“1”发生变化，相应甲乙所对应的数值也随之变化，学生解答时往往会产生混淆，容易出现计算错误。
　　化归解：根据条件，先假设甲为8，乙为7；再求乙比甲少几分之几？（8-7）÷8。用特殊值法解，在始终把握基本数量关系的前提下，使得复杂的数据换算得以简单化。
　　（2）通过语义转换实现化归：一个数学符号式子的最初意义或常用意义容易被固化，而在问题解决中，式子意义解释的寻求和提取因环境而异，不同的问题环境会激活不同的意义解释，不同的意义理解造成问题解决的不同思路和不同难度。
　　2、数学模型――一数学应用的基本方法
　　数学模型方法就是对所研究的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决原型问题的方法。从广义的观点看，数学概念、性质、法则、公式都是数学模型。从狭义的观点看，解决小学数学中的具体的数学问题，特别是解答应用题都需要构建数学模型来解决。
　　2.1 数学概念（方法）的建立：数学概念建立或数学方法归纳的过程实质就是建立数学数学模型的过程。学生通过操作、比较、归纳、分析和综合，在对对象的各个属性形成较为清晰的表象后，教师引导学生将这些对象属性进行剖析，将对象的本质属性抽象出来，并将这种本质属性概括到同类事物当中去，于是就形成关于对象的数学属性的基本模型。
　　如数学活动课上，师生一起探讨“在正方形四周植树”的问题，学生活动后，组织交流。
　　生1：每个顶点栽一棵，一共需要：4×4-4=12棵。
　　生2：顶点上的树属于其中的一条边，这样每条边上的树只有3棵，再用3x4=12棵。
　　生3：先算每条边中间植树的棵数，2×4=8棵，再加上顶点位置的4棵，也是12棵。
　　生4：把顶点上的4棵树分别属于正方形上下两条边。这样左右两条边只有2棵，列式为4×2+2×2=12棵。
　　师：方法不同，列式不同，但殊途同归，至少要栽12棵。在解决问题的过程中，你觉得关键要注意什么？
　　生：就是顶点上的棵数不能多算，只能算一次。每条边上树的棵数×边数=顶点的个数。师：如果在正三角形、正五边形、正六边形草坪四周植树，每边都要植4棵，每块草坪分别需要多少棵呢？小组选择一个问题进行研究。
　　在以上教学过程中，教师先让学生独立思考，提出个性化的解决问题的策略，从多个角度，多种途径进行解释，理解在正方形四周植树的计算方法。然后教师引导学生比较求同，在众多表面上形态各异的思维策略背后蕴藏的共同的具有更高概括意义的数学思想方法，进而体会到解决问题的一般数学模型：“每条边上树的棵数×边数=顶点的个数。”在这种思想方法的指引下，学生掌握了多边形各边植树的计算方法。
　　2.2 运用数学问题的解决：解决数学问题的关键步骤就是通过分析数量关系，把题中的实际问题抽象成一个纯数学的关系结构，从而构成数学模型，依据该数学模型固有的解决问题的策略进行运算。
　　3、数形结合――一数学理解的基本方法
　　数形结合是指将数（或量）与形（或图）结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略，即根据问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质和特征来研究，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，从而利用数形的辩证法和各自的优势，得到解决问题的方法。
　　3.1 以形直观的表达数：其实质就是抽象对象或关系的“可视化”，将抽象的东西“原型化”，有利于利用形象思维和直观思维。
　　借助“形”的直观建立数学概念。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分数、小数；利用交集图理解公因数与公倍数，等等。借助“形”的操作形成数学规则。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。
　　借助“形”的启发获得解题思路。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的应用题（如“种植株数”、“截断”等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等，是寻找解题途径最有效的手段之一。
　　3.2 以数精确地研究形：“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略和不便于表达的问题，需要以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达，才能使学生更准确地把握“形”的特征。
　　借助数学语言的描述认识图形的特征。例如，教学《空间和方位》，教师引导学生掌握用东、南、西、北和东北、西北、东南、西南这些词语描绘物体所在的方向，用方向、角度数和距离或数对来表示物体所在的位置，使学生认识到以数释形的精确和周密。
　　借助数学运算的方式判断图形的性质。例如，求解“周长相同的正方形、长方形和圆，哪个面积最大？哪个最小？”由于作图困难，凭图形直观难以判断，而通过设定特殊值作具体计算，图形大小关系就比较容易判别了。