破解函数问题的屠龙刀

一、导数与函数单调性．

在某个区间内，如果恒有，那么函数这在个区间内单调递增；如果恒有，那么函数这在个区间内单调递减；当然在区间内，如果恒有，那么函数在这个区间内是常数函数．不具单调性．对于可导函数来说，和分别是是在情况区间的递增和递减的充分非必要条件．

[友情提醒]：函数在区间内单调递增（递减）的充要条件是：在区间内恒有（）且不存在区间（）（）使函数在区间（）内恒有．

如果一个函数在某一个范围导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”，（时向上，时向下），反之，函数的图象就越“平缓”．

根据上面的知识我们可以总结出利用导数判断一个函数单调性的步骤是：

（1）求导函数；

（2）在函数的定义域内解不等式和；

（3）确定单调区间．

[友情提醒]在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导的点．

例1：设是函数的导函数，的图象如图1所示，则函数的图象是（   ）

解：根据的图象知在，说明的对应区间是单调递增的，在（0，2）小于零，说明在对应区间上是递减的，故选C．

二、导数与函数极值．

已知函数，设是定义域内的任意一点．如果对附近的的所有的点，都有，则称函数在点处取得极大值，记作，并把（）称为函数的一个极大值点．如果附近都有，则称函数在点（）取得极小值，记作，并把（）称为函数的一个极小值点．极大值与极小值统称极值，极大值点与极小值点统称极值点．

[友情提醒]特别值得一提的是：函数的极值是在此函数的某个点的附近的小区间而言，在函数的整个定义域内可比可能存在多个的极大值和极小值，，且极大值不一定比极小值大．

利用导数求函数极值的步骤是：

（1）       求导函数；

（2）       求=0的所有的实数根．

（3）           考察每个根附近，从左往右，导函数的符号是如何变化的，如果的符号由正变负，则，则是极大值，如果的符号由负变正，则是极小值．

[友情提醒]：点（是可导函数的极值点是=0的充分非必要条件．可导函数在点（处取得极值的充要条件是=0且在处附近的两端异号．

例2：函数在区间[-4，6]上的导函数的图象如图所示，则该函数极大值点的个数是

     个．

解：首先导函数=0的点主要有A、B、C、D、E五个点，显然E点中附近导数的两端是同号，也就不是极值点．

在A、B、C、D四个点中，点A与点C的附近的导函数由负变正，即它们是极大值点．故应填2个．

三、导数与函数的最值

．如果（）是函数的最大（小）值，那么不小（大）于函数在相应区间上的所有的函数值．一般地，如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或端点处取得．

求函数在闭区间上的最值的步骤是：

（1）求

（2）在（）内的点．

（3）计算函数的所有的极值点与端点的函数值，然后进行比较确定．

[友情提醒]：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．而最值就是反映一个整体的性质．不论是求函数的单调性还是利函数求极值、最值，在第（3）步时都可用列表法来解决．

例3已知，.

( I )求的导函数;

( II )若，求在上的最大值和最小值．

解：（1）

( II )由，得，则，

.令，解得或.

当在区间上变化时，的变化情况如下表：

又，-

所以在区间的最大值为，最小值为．

从上述可知，导数在破解函数的单调性，极值与最值有着“四两拨千斤”的作用，相信同学们只要“屠龙刀”在手，勤加修炼，待到刀法娴熟日，定是“巨龙”臣服时．