弹响等差数列“四重奏”

等差数列是一个基本的“数列乐章”中最精彩的一章．一个数列是不是等差数列，请听一下这个“四重奏”，相信对这个“主题曲”会有更深刻的认识：

一、定义法．如果一个数列的后项减去它的前一项是一个常数，我们则称这个数列是等差数列，用公式表示为（是常数）．

例1．已知数列满足满足=1，=2且，，如果求数列的通项公式．

分析：本题的形式上可能有些复杂，可是如果我们如果抓住等差数列的定义即可破解．我们猜想这个数列是等差数列，则必须，即，于是将两个式子相加就成为必然．

解：因为

所以（1）+（2）得

从而有根据等差数列定义可得是以首项为，公差2的等差数列，通项公式为．

二、通项法．大家知道等差数列的通项公式是，我们如果将它稍作变形，即得，更进一步，我们可得．这里我们将看成一个函数，n看作一个自变量．故该函数（A不等于0）是一次函数，则该数列一定是等差数列；当A=0，即，说明该数列是一个常数列（公差是0）．

例：若数列的通项公式是，求的值．

解析．由上述可知数列是以公差为2，首项为1的等差数列．于是可知也是等差数列，它的公差是4，首项为3，则根据等差数列的求和公式可得=

三、法．根据等差数列的求和公式我们可得到．进而我们又可得．如果数列的前n项和是n的二次函数（其中常数项为0）或是，那么该数列分别是公差不为0的等差数列和公差为0的常数列．

例：已知数列，其前n项和，求数列的通项公式．

解：由于上面的分析可知该数列是一个等差数列．因为，所以当时，则，显然当时也成立，故．

点评：一般地，当不是一个缺少常数项的二次函数时，如，那么该数列从第二项起才成等差数列．

四、中项法．我们知道三个数是等差数列的条件是，则数列是等差数列的条件是该数列的任意连续三项满足．

例：已知，若数列满足证明是等差数列．

分析，要证明是等差数列，从定义显然看不出来，也没出现通项的一次函数型，更没有的影子，所以我们发现的上面三条途径入手尝试收效不大，这里我们考虑用中项法求解．

证明：

　　　　　　　　　　　　①

　　　   　②

②－①，得

即                            ③

                             ④

③－④，得　

即　

是等差数列．

以上“四重奏”中 “定义法”的起着引领的作用，当然每个都对“主题曲”都有贡献，不可偏废，相信同学能经常弹奏，定然会发出更和谐的旋律．