高中数学解题教学研究初探

摘　要：本文通过分析中学解题教学的误区，提出教师应该通过解题教学研究，促进学生解题能力的提高．本文介绍了笔者对数学解题的基本认识．通过对数学解题信息过程的描述和实例分析，充分暴露解题者的思维过程，指出解题教学中教师应该把解题分析的思维过程展示给学生，以提高学生分析问题、解决问题的能力．本文还介绍了一个解题教学的课例，希望对解题教学研究与实践起到抛砖引玉的作用．

关键词：解题教学；数学题；解题信息过程；解题方法；解题策略

《高中数学课程标准》中指出高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一．人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程．这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断．数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用．众所周知，中学生要提高数学思维能力的重要途径之一是解题，而教师要提高学生的数学思维能力就必须进行解题教学研究．笔者一直致力于数学解题教学研究，试图通过解题教学研究提高学生的数学思维能力．

一、中学解题教学的误区

经调查研究，中学数学解题教学存在若干误区：（1）长期徘徊在一招一式的归类，缺少观点上的提高或实质性的突破．有时候，只是解题方法的简单堆积或解题技巧的神秘出现，在解题具体操作与解题策略或数学思想方法之间缺少沟通的桥梁．（2）多是研究“怎样解”，较少问“为什么这样解”，更少问“怎样学会解”，重结果，轻过程．（3）更关注现成的、形式化问题的求解，对问题“提出”和“应用”研究不足．教学中的具体表现为：（1）概念课的教学不注重知识形成的背景和形成的过程，不注意引导学生搞清概念的来龙去脉，导致学生对概念理解还是“夹生饭”时，就被要求听老师的一招一式的例题教学，甚至被要求解大量的课外习题．学生整节课忙于抄录老师的笔记，没有任何思考的时间和空间，从而“听课”变成“抄课”，课后投入大量时间完成一知半解的习题．最后，学生学得很苦很累，但成绩毫无起色．出现这种情况，教师应该是“急于求成”了．其实，学生在对概念理解不透彻的情况下，解题时即使在“有用捕捉”的刺激下，也无法进行“有关提取”．（2）习题课的教学中，经常会出现老师上来就给出各种类型的习题，然后老师不加任何分析，有时学生甚至连题目中的条件是什么，结论是什么都没搞清楚，就被老师“牵着鼻子走”，似乎循着老师的思路，整个过程都“明白”了，而实际上什么都没学到．如果教学中存在这些问题，那么对提高学生数学思维能力是毫无意义的．笔者认为教师应该进行解题教学研究，通过学习解题学理论来指导学生解题，避免教与学误入“歧途”．

二、对数学解题的基本认识

2.1 数学题与数学解题

中学生日常接触最多的是狭义上的数学题，这些数学题的标准形式包括两个基本要素：条件（已知，前提），结论（未知，求解，求证，求作）．解题就是沟通条件与结论之间的联系，包括解和解题依据．如果把解题比做打仗，那么解题者的“兵力”就是数学基础知识，解题者的“兵器”就是数学基本方法，而调动数学基础知识、运用数学基本方法的数学解题学正是“兵法”．我们通常只注重“兵力”和“兵器”的积累，而忽视了对“兵法”的研究，导致在解题实战中平时积累的“兵力”和“兵器”都无用武之地，或者驾驭不好．

2.2 数学解题的信息过程

《数学解题学引论》中认为数学解题的信息过程包括这样一个“三位一体”的工作．

①有用捕捉．从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么？结论是什么？各有几个？如何建立条件与结论之间的逻辑联系？从题目的叙述中获取“符号信息”，从题目图形中获取“形象信息”．知识与经验是“有用捕捉”的基础．

②有关提取．即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想而从记忆储存中提取有关的信息，主要有定理、公式、基本模式、解题经验等解题依据或解题凭借．良好的认知结构和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础．

③有效组合．将“有用捕捉”和“有关提取”两组信息进行有效组合，使之成为一个和谐的逻辑结构．逻辑思维能力是有效组合的基础，而“逻辑结构”是否有效，其基本要求应能说服自己、说服朋友、说服论敌．

这三个步骤往复循环，依信息的反馈而由大脑来调节．解题信息过程如图1所示：

例1：（2009广东高考题）已知向量互相垂直，其中，求的值.

从信息论的观点分析例1的解题过程，则是两个维度上相关信息的有效组合，即从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆网络中提取有关的信息，并把这两组信息组成一个和谐的逻辑结构．

可见，数学解题的思维过程是一个“三位一体”的工作．

①有用捕捉．由图2可见，通过理解题意找出了3条信息，两条符号信息，一条文字信息（含图形信息）．

②有关提取．由图2可见，在“有用捕捉”的刺激下，从记忆网络中检索出了3条信息：向量垂直的充要条件，公式，方程思想．解题者应该自始自终以“求两个未知数（），需要找两个关于的方程”的方程思想指导下，探索解题思路．

③有效组合．将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻辑结构．逻辑思维能力是有效组合的基础．在这里方程思想应该是进行有效组合的关键所在．

例1的分析充分暴露了解题者的思维过程，也正是解题教学中教师应该向学生充分展示的过程．因为例1的难度不大，所以即使教师照本宣科，学生也能理解，甚至还能“简单模仿”，但是很难让学生上升到“自发领悟”和“自觉分析”的层次，对提高学生解题能力起不了多大作用．

2.3 对解题方法与策略的认识

2.3.1 解题方法

这里说的解题方法，是指中学阶段用于解答数学题的方法．此处将其分为3类，分别为具有创立学科功能的方法，体现一般思维规律的方法，具体进行论证演算的方法．

①具有创立学科功能的方法．如公理化方法、模型化方法、结构化方法，以及集合论方法、极限方法、坐标方法、向量方法等．在具体解题中，具有统率全局的作用．

②体现一般思维规律的方法．如观察、试验、比较、分类、猜想、类比、联想、归纳、演绎、分析、综合等．在具体解题中，有通理通法、适应面广的特征，常用于解题思路的探求．

③具体进行论证演算的方法．这又可以依其适应面分为两个层次，第一层次是适应面较广的求解方法，如消元法、换元法、降次法、待定系数法、反证法、同一法、数学归纳法（及递推法）、坐标法、三角法、数形结合法、构造法、配方法等；第二层次是适应面较窄的求解技巧，如因式分解中的“裂项法”，函数作图中的“描点法”，以及三角函数作图中的“五点法”，几何证明中的“截长补短法”、“补形法”，数列求和中的“拆项相消法”等．

仅仅是不等式的证明，我们就可以列举出一长串的解法或技巧：比较法、放缩法、综合法、分析法、递推法、反证法、基本不等式法、叠加法、连乘法、数学归纳法、判别式法、求极值法、配方法、辅助函数法、构造法、微分法等，而微分法又可以有求极值、确定单调性、中值定理、凹凸性质等形式．

2.3.2 解题策略

注重解题策略的研究已经构成中国解题教学的一个特色，它可以看成是对波利亚现代启发性解题策略研究的继承与发展，徐利治教授提出的RMI原理是这方面工作的杰出代表．

（1）策略是指导行动的方针（战略性的），同时也是增强效果、提高效率的艺术，它区别于具体的途径或方式（战术性的）．数学解题的策略是为了实现解题目标而采取的方针．解题策略的思维基础是逻辑思维、形象思维、直觉思维的共同作用，离开逻辑是不行的，单靠逻辑是不够的．

文[5]提出了10个解题策略：模式识别、映射化归、差异分析、分合并用、进退互化、正反相辅、动静转化、数形结合、有效增设、以美启真；文[8]提出了8个解题策略：枚举法、模式识别、问题转化、中途点、以退求进、推进到一般、从整体看问题、正难则反；文[9]提出了10个解题策略：以简驭繁、进退互用、数形迁移、化生为熟、正难则反、倒顺相通、动静转换、分合相辅、引参求变、以美启真，并且认为数学思维策略的研究就是数学解题策略的研究；文[10]对解题策略进行了理论分析．

（2）解题策略介于具体的求解方法与抽象的解题思想之间，是思想转化为操作的桥梁，一方面它是用来具体指导解题的方法，另一方面它又是运用解题方法的方法、寻找解题方法的方法、创造解题方法的方法．

如果把解题策略理解为选择与组合的一系列规则，那么这些规则应该具有迅速找到较优解题操作的基本功能，能够减少尝试或失败的次数，能够节省探索的时间和缩短解题的长度，体现出选择的机智和组合的艺术．

三、一次解题教学的尝试

波利亚在“怎样解题表”中给出了一个宏观解题程序，分成4步：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾．在每一步中都配有许多问句或提示，从而体现出模式识别、联系转化、特殊化与一般化、归纳、类比等思维策略的指导．

笔者根据玻利亚的“怎样解题表”进行了一次教学尝试．下面将教学的主要部分摘录如下：

3.1 设计意图

一部分学生反映，拿起数学题总感觉无从下手．在教学实践中，笔者发现学生在解题时有一些不良解题习惯，譬如：生搬硬套式的“套题”习惯，知其然不知其所以然的习惯，解题后无及时反思、总结、提升的习惯等，这对于发挥数学的教育功能，开发学生智力，提高分析问题、解决问题的能力是毫无用处的．

为了改变这些现状，笔者通过研读波丽亚的《怎样解题》和罗增儒的《数学解题学引论》，结合教学实践，形成了一些想法．本课以波丽亚的“怎样解题表”为指导，以函数的基本性质为载体，通过具体例题的分析，充分暴露解题的思维过程，教会学生怎样解题．

3.2 典例剖析

例1.如果二次函数在区间上是增函数，求的取值范围.

解题分析过程：

第一步：你必须理解题目．

理解题目

1.未知量是什么？已知量是什么？

2.这是一个什么问题？答：这是一个求范围的问题，求的范围.

3.已知条件是什么？

答：已知二次函数的解析式（一次项系数含参数）.二次函数的一个增区间.

第二步：找出已知条件与未知量之间的联系．

最终你应得到一个解题方案．

拟订方案

以前做过或见过类似的题目吗？当时是怎样想的？

我们已经做过许多求二次函数单调区间的题目．

要求出未知结论，需要知道哪些条件？由已知条件能推出哪些有用的东西？

要求出的范围，需要求出参数的范围，需要构造关于的不等式．

由已知条件（二次函数的解析式）能求出二次函数图象的对称轴，能求出二次函数的单调区间D．

解这类问题通常有哪几种方法？可能哪种方法更方便？试一试如何？

想法1：先求出函数的单调增区间D，再由增区间D，构造关于的不等式．

想法2：二次函数的单调区间与二次函数图象的对称轴有关，通过数形结合，由对称轴与区间的相对位置构造关于的不等式．

第三步：执行解题方案．

执行方案

执行解题方案，检查每一个步骤．你能确保每个步骤是正确的吗？

解答过程（略）.

第四步：检查已经得到的解答．回顾解题过程，积累知识与方法．

回顾与积累

你能检验这个结果吗？

通过做这道题，能给你带来什么启示？应用了哪些数学基础知识，基本方法，数学思想？

这是一道“已知（含参）函数的单调区间，求参数的范围”的问题，属于求函数单调区间的逆向问题．

知识点：二次函数的单调性，二次函数的图象，二次函数的对称轴．

方  法：构造法，配方法.

思  想：数形结合.

你能在别的什么题目中利用这种方法吗？

举一反三：函数在上单调递增，求的取值范围．

从教学反馈效果来看，听课教师认为教学方法新颖，充分暴露了解题的思维过程，真正解决了解题教学中的许多问题，起到了良好的示范作用．学生认为通过这节课解决了“拿起题无从下手”的问题，大部分同学觉得解数学题变得容易了，真正认识了数学解题，很大程度上解决了学生对数学题“畏难”的心理问题，提高了学习兴趣．

为了改变学生的思维习惯，解题教学中教师应多示范解题分析的过程，充分暴露解题的思维过程，同时也应要求学生尝试画出解题分析的图示，逐步养成良好的分析问题、解决问题的习惯．解题者每解一题都应重视用数学思想和方法来指导解题，避免盲目的生搬硬套．解完题后应注重归纳总结知识和方法，并不断将新学习的知识和方法纳入已有的知识网络，最终提升为数学思想．

从多年的教学实践来看，笔者认为数学解题可以有效提高学生的数学思维能力，教师通过解题的理论与实践的研究可以帮助学生提高数学思维能力，而数学思维能力的提高又能促进解题能力的提高，从而形成良性循环，学生就不怕学不好，老师也就不怕教不好了．

参考文献

[1]波利亚.怎样解题.阎育苏译.北京：科学出版社，1982

[2]波利亚.数学的发现.欧阳绛译.北京：科学出版社，1982

[3]何小亚.解决数学问题的心理过程分析.数学教育学报，2004.3

[4]杨骞.波利亚数学教育理论的现代启示.数学教育学报，2002.2

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[6]罗增儒.中学数学解题的理论与实践.广西教育出版社，2008.1

[7]何小亚.数学学与教的心理学.广州：华南理工大学出版社.2003.6

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[9]任樟辉.数学思维论.桂林：广西教育出版社，1990

[10]郑毓信，肖柏荣，熊萍.数学思维与数学方法论.成都：四川教育出版社，2001

[11] 罗增儒，罗新兵. 作为数学教育任务的数学解题.《数学教育学报》（天津），2005.2