从模式识别解题策略角度探讨典型习题的研究性学习

典型习题的研究性学习是指对高中数学中的典型例题、习题的解题教学探讨，意在通过课堂上的解题学习研究，巩固概念，理解定理，把握变化，并上升为思想方法的一种新的解题教学模式．我们期待这种新模式能够提高解题教学效益，减轻学习负担，真正实现 “举一反三”的迁移能力目标.

1．典型习题研究性学习的理论基础──模式识别

从学习数学的过程看，我们所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型──模式（图示或认知结构），将其有意识地记忆下来，并作有目的的简单编码.当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已经解决的问题，以此为索引，在记忆储存中提取相应的方法来加以解决，这就是模式识别解题策略.

从思维的角度看，模式识别解题策略体现了思维定势正迁移的积极作用.“遇新思陈，推陈出新”就是为了在当前问题与头脑中已有的知识、经验之间建立联系，以诱发积极有用的思维定势.无论在什么情况下都应该清醒看到，所积累的知识和经验都是解决问题的依据与凭借.

模式识别策略体现了化归的思想，有时是化生为熟的“熟悉化”原则，有时是分解为若干个基本问题的“简单化”原则.同时，它还是类比、联想等思维活动得以展开的基础，并与直觉相联系.

典型模式就像建筑上的预制构件，也是思维的基本组块，本质上是一种标准化设计，即将陌生的问题转化为标准的问题，然后用标准的程序去解决它.在中学数学教学中，“基本问题”的思想是这一策略的主要表现，积累基本问题也就成为提高这一策略效率的捷径.

2．典型习题研究性学习的基本模式

根据以上理论成果，我们认为在高中数学课堂教学中，可以通过引导学生对数学中典型习题（蕴涵基本问题、基本图形、基本技能、基本思想方法的数学题）进行透彻理解，深入研究，形成模式，类化应用，实现迁移的目标.为此我们研究提出了典型习题研究性学习模式：

问题引导→学生探究→归纳记忆→迁移运用

3．我们以学习正方体中各构成要素的关联为例来阐述这一模式在课堂教学中的实施

3.1出示问题（有浅有深、有难有易）

（1）正方体中三类线（棱、面对角线、体对角线）与正方体的两类面（侧面、对角面）的位置关系有几类？分别是怎么样的关系（定量与定性）？

（2）正方体中任意两点连线段所在直线中异面直线有多少对？可分为哪些类型？每对异面直线的距离和成角各是多少？

（3）正方体的截面多边形可以是几边形？如何作出不同类型的截面多边形？

（4）正方体中有多少条对称轴？有多少个对称面？

(5)正方体中每个面的中心构成的多面体的体积是多少？

(6)正方体的内切球半径？外切球半径？

 (7)正方体的顶点可以构成多少个正四面体？其表面积是多少？

(8) 以正方体的顶点为顶点的非正四面体的正三棱锥的内切球的体积是多少？该顶点到底面的距离是多少？和该三棱锥成中心对称的三棱锥的两底面之间的距离是多少？

(9) 正方体的侧面和对角面分别组成什么角度?

3.2 学生探究，交流讨论，教师讲评.(过程略)

说明：从知识的角度，注意得出一些常用结论；从能力角度，注意对称、分类、转化的应用.

3.3 学生小结、记忆（过程略）

注意：理解基础上的对结论的记忆，要能够还原，能够说理才能真正应用；记住背景等于俯视了全局，也就记住了条件，才能应对变化.

3.4学生迁移运用（重在策略分析）

题一 如图(1),已知ABCD是边长为4的正方形，E、F、分

别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2,求点B到平面EFG的距离.[1992年数学高考题理科 ]

分析：考虑到该图形可以补成正方体，则该题实质是求正方体一个顶点B到截面GPEFQ的距离，如图(2). 于是只要利用等体积法很容易解决.

另外，如果由正方体的对称性，连接BD交AC于O，则O、B到截面的距离相等.设EF交AC于R，于是在△RGC中过O作OH⊥GR交GR于H.容易证明OH的长为所求.

题2一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（   ）

A.3      B.4     C. 3    D.6

法一：对于正四面体可以由其对称性知道外接球球心该在高上，再利用勾股定理可以先求出其外接球半径，从而可以算出体积.

法二：想到棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，则四面体ACB1D1的棱长都为，它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正方体对角线长的一半，即有r=.故所求球面积为S=3.

题3 将等腰直角三角形ABC沿着长为a的斜边中线AD折成一个直二面角.

（1）求BD与平面ABC所成的角；

（2）求过D、A、B、C四点的球的表面积.

解：（1）将折后所得的D-ABC补成正方体.由于DA=DB=DC,故D在面ABC上的射影为正△ABC的中心O，连接BO，则∠OBD为BD与面ABC所成的角.

∵DA=a，∴AB=BC=CA=

又∵OB=AB= ∴cos∠OBD=即∠OBD=

　　（2）棱锥D-ABC的外接球即为正方体的外接球，故设求半径为R，则2R= ，R=，所以S球=3

由以上三题的解法分析不难看出，要快速作答，都必须依赖于我们头脑中对正方体各要素的的关系的理解、记忆和联想.正是由于我们对正方体的透彻研究，才有对正方体的各种性质的“胸有成竹”，才能灵活快速地通过联想其结构和性质（模式）并找到了解决问题的策略和方向，可以说这些模式是使我们的思维定势发生正迁移的必要基础.

4.教学反思

4.1为什么学生不能灵活运用所学知识来解决问题

学生做了大量习题，包括许多重复练习和一些创新题，但是真正独立解题时却往往觉得过去做的题对解决新问题帮助不大，或者没有帮助.心理学研究表明，至少有两方面的原因：①学生可能缺乏必要的知识基础；②学生的知识结构可能不合理．前者比较好解决，更多的是对于后者，我们如何认识学生知识结构的不合理性呢？第一、缺乏过程体验，由于课堂上学生学习数学的方式主要是听，经常出现“似懂非懂”、“选择性听”、“跟不上”三种情况.可见，在传统的解题教学中，学生的思维体验非常“单薄”，难以形成长时记忆.第二、学生没有反复推敲的条件和欲望.尽管一部分老师意识到透彻理解的重要性，但是大量的学生还是比较“急功近利”.认为反复推敲浪费时间，还不如多做几个其他题目效果好.另一方面，由于老师的观念落后，经常布置许许多多的练习题，学生为了完成作业，客观上挤占了学生独立思考的时间.因此，学生头脑中的知识基本处于杂乱无章的状态.显然缺乏体验、缺乏生成、缺乏反思整理肯定不能形成合理的认知结构.所以学习解题必须成为数学课堂教学的要“教”的重要内容，典型习题研究性学习正好成为数学课堂解题教学的重要教学模式之一.

　　4.2教师要精选习题并合理安排教学进程．

4.2.1 抓住基本问题开展研究性学习

如排列组合中的“贺卡问题”、“涂色问题”、“投信问题”、“站队问题”等，这些问题难度不是很大，但是又不可替代，具有独立性，同时，它们又各自代表了一个大“类”，因而具有典型性.在课堂上要舍得花时间和精力让学生对这些最基本问题进行尝试、研究，只有这样才会留下深刻的记忆，而且这些研究的的过程体验也将一并成为学生解题的主要参照.再比如对立体几何中基本体：正方体、正四面体、三棱柱等开展研究性学习，也是帮助学生形成基本模式的重要措施.在代数中对耐克函数、反比例函数、三次函数、对数函数、指数函数、二次函数、正弦函数等都应该采用研究性学习的方式来展开教学.

4.2.2抓住综合问题进行研究性学习.

所谓的综合题主要是指涉及的知识较多，用到数学的多种常用方法，且往往需要数学思想来指导寻找宏观解题策略与方向的习题.高考题往往具有这种功能.   因为高考题是经过命题教师精心设计、反复讨论、认真修改后编成的，并且经过了高考大面积的测试试验，不但具有原创性先进性，而且具有典型性和实践性.如能选取部分高考试题引导学生研究，分析揣摩试题的考查目的和功能，一定能得到很多启发，对学生的解题能力提高一定会有极大的帮助.
　　反思这节课的学习过程，我们经历了：归类探究、形成模式→记忆结论、积累模式→联想化归、使用模式→重组超越、突破模式的过程.正如学习武术一样，我们必须从一招一式做起，但是武术的最高境界是无招胜有招. 联想到数学解题也是如此，要学会解题，我们就必须一个问题一个问题（基本问题、基本图形、基本概念、基本式子、基本思想方法等）地研究，首先形成一定的解题套路，并内化于心，逐步达到“自动化”水平，然后我们才可能突破套路逐步进入“随心所欲”的最高解题境界——“没有模式就是最好的模式”.   

参考文献：

罗增儒. 数学解题学引论 [M]陕西：陕西师范大学出版社.2001年7月第二版．