对新课程理念下数学教学的思考

一、提高对数学的认识，贯彻新课程的理念

1．如何认识数学

贯彻新课程的理念需要我们对数学有一个较好的认识。数学是科学、是语言、是工具，是基础，有广泛的应用，已从幕后走向台前，与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造财富。我们要认识数学的一些要素，例如：

（1）要认识数学的两个側面，即数学的两重性──数学内容的形式性和数学发现的经验性，正如波利亚（G.Polya）指出的：数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学象是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来象是一门试验性的归纳科学；

（2）要认识数学的基本要素，这就是柯朗（R.Courant）所说的──逻辑和直觉、分析和构造、一般性和个别性；

（3）要认识数学是一门动态的发展的科学，正如“人人关心数学教育的未来”中指出的“数学是一门有待探索的、动态的、进化的思维训练，而不是僵化的、绝对的、封闭的规则体系；数学是一种科学，而不是一堆原则，数学是关于模式的科学，而不是仅仅关于数的科学”……

2．对新课程理念下高中数学内容的认识

（1）对10个模块内容的认识

可以从三个层次上去分析、考虑：

──知识领域。可分：代数、几何、概率统计、微积分、与信息技术相关的内容（算法、框图、推理与证明）等五个领域考虑。解决“有什么”内容的问题。

──知识结构。揭示数学各部分内容、各分支之间的有机联系，提高对高中新课程数学内容整体的认识。

──思想方法。对数学内容的进一步提升，进一步加深对高中新课程数学内容和教育价值的认识。

（2）对选修系列3、4中16个专题的认识

专题内容的构成：

选修系列3和系列4的专题的学习重在提高数学素养，拓宽视野。大致分为三类。一类是在学生已学数学内容基础上进一步加深对已学知识和相关知识的了解和认识，是在学生已学数学内容基础上的延伸和拓广。例如数学史选讲、几何证明选讲、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、初等数论初步等。一类是对近现代数学中一些重要数学思想方法的介绍，但不是把大学有关内容的简化下放。例如对称与群、矩阵与变换、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充等。还有一类是反映数学与现实世界紧密联系与广泛应用的内容，通过这些专题的学习，可以加深学生对数学的力量、数学应用价值的认识。例如信息安全与密码、优选法与实验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等。

对专题内容的要求：

这些专题的内容不要求严格的系统性，但也不是简单地讲讲故事，又不是科普读物。而是想让学生对它们的基本内容和基本思想方法，或者基本应用有一个初步的了解。

选修系列3和系列4这两个系列的专题在教学要求上是有所区别的。选修系列3的专题，主要是以通俗易懂的语言，深入浅出地介绍各专题的基本数学内容及其基本思想，以开阔学生视野，从数学的发展或从一个具体的数学分支，来认识数学的魅力和价值。

选修系列4的专题，虽然也是要深入浅出地介绍各个专题的主要内容和基本思想，同时还要求学生能够运用其中的一些数学知识，计算、证明或处理一些问题。

选修系列3和系列4的设置和实施是一个动态发展的过程。

二、提高对数学的价值、数学的教育价值的认识，体现新课程的理念

1．数学的科学价值、应用价值和文化价值

──数学对于人类进步、科技发展和社会发展的重要影响

──数学是探索自然现象和社会现象基本规律的工具和语言

──纯粹数学、数学基础理论的重要性

2．数学的教育价值

──数学教育在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面起着重要的作用。

──数学教育是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。

──数学教育在学校教育中占有特殊的地位，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。

三、以学生的发展为本，在实践和探索中丰富和改善教与学的方式，帮助学生更好地体验数学发现和创造的历程，发展创新意识和实践能力

1．如何把握新增内容的教学

（1）必修课中新增内容的教学

案例──算法

增加的理由：

“算法”在当今数学和科学技术中的作用已经凸现出来，他是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的重要基础。在社会发展中发挥着越来越大的作用，已融入社会生活的方方面面。此外，学习和体会算法的基本思想对于理解算理、提高逻辑思维能力、发展有条理的思考和表达也是十分重要和有效的。

教学定位：

结合具体实例，感受、学习和体会算法的基本思想；学习和体验算法的程序框图、基本算法语言；并将算法的思想方法渗透到高中数学的有关内容中，学习分析、解决问题的一种方法。

（2）选修课1、2中新增内容的教学

案例──推理和证明

增加的理由：

推理与证明是数学的基本思维过程，是做数学的基本功，也是人们在一般学习和生活中常用的思维方式，是发展理性思维的重要方面；数学与其他学科的区别除了研究对象不同之外，最突出的就是数学内部规律的真确性必须用演绎推理（逻辑推理）的方式来证明，而在证明或学习数学过程过程中，又经常要用合情推理去猜测和发现结论、探索和提供思路。因此，无论是学习数学、做数学，还是对于学生理性思维的培养，都需要在基础教育阶段的高中数学中加强这方面的学习和训练。此外，随着信息技术的发展，机器证明、自动控制等方面的应用也需要学习推理与证明的有关内容。

教学定位：

在教学中，可以变隐性为显性、分散为集中，结合以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确化等方式，同时通过新内容的学习，使学生感受和体验如何学会数学思考方式，体会推理和证明在数学学习和日常生活中的意义和作用，提高数学素养。

（3）选修课4中专题的教学

案例──矩阵与变换

增加的理由：

矩阵作为一种表示，在数学上是一个高度有用的工具，有了运算，矩阵作为一种线性变换，由于线性变换的重要性和它的应用的广泛性，使得矩阵在许多学科中有着广泛的应用。该专题通过几何图形的变换介绍矩阵的基本知识和基本思想，对于高中学生的数学学习就显得更有意义了。

教学定位：

对这个专题，特别强调要从具体实例入手，充分利用几何图形的直观（尽管矩阵表示的变换不仅是几何图形的变换），结合几何图形的变换来介绍有关内容，理解矩阵作为线性变换表示的实质，尽量不引入抽象的形式运算符号，不强调系统性。

2．如何把握有关内容在要求和处理上的变化

案例1

函数──强调对函数概念本质的理解，函数是描述现实世界中变量之间依赖关系的重要数学模型，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题；注重了与方程的联系及函数观点在二分法中的应用；加强了函数作为重要数学模型的应用；充分注意到学生对于函数概念真正的认识和理解是不容易的，要经历一个多次接触、螺旋上升的较长过程。减弱了对反函数、对数函数的要求。

案例2

统计──对于统计的教与学，必须强调统计基本思想和方法的认识和理解，而不能把统计作为计算统计量的学习。

让学生比较系统地参与收集数据、整理、分析数据、从数据中提取信息、进行估计、作出推断的全过程，并让学生在经历解决问题的活动过程中，感受和体验统计用样本来估计总体，即从局部来推断整体的归纳思想，学会收集数据的一些基本方法，体会统计思维与确定性思维的差异。

3．借助几何直观，揭示基本概念和基础知识的本质和关系，同时学会数学学习和思考的一种基本方法

几何直观形象、直观，能启迪思路、帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方法和途径。从某种意义上来说，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。

案例1 函数的性质

案例2 导数的概念

案例3 圆锥曲线

4．鼓励学生积极参与教学活动，帮助学生用内心的体验与创造来学习数学，更好地认识和理解数学

为了鼓励学生积极参与教学活动，帮助学生用内心的体验与创造来学习数学，认识和理解基本概念、掌握基础知识。在备课时不仅要备知识，把自己知道的最多、最好、最生动的东西给学生，还要考虑如何引导学生参与，应该给学生一些什么，不给什么；先给什么，后给什么；以什么样的形式能给他带来最大的思考空间；怎样创设问题情境？怎么提问？在什么时候、提什么样的问题才会有助于学生认识和理解基本概念、掌握基础知识，等等。

案例1 集合、集合的基本关系、集合的运算；

案例2 直线与方程、圆与方程；

案例3 圆锥曲线的概念；

在课堂教学中鼓励学生参与遇到种种困难时的对策：

备课时首先要加强对教学内容和教学课时整体上的把握和安排，对核心的概念和内容在时间上留有余地，对每一次所讲内容在数学上的要求有一个清楚的认识，对学生的基础和认知水平有一个比较准确的估计。其次，在观念上也要有转变，因为当我们把学生学习的积极情感调动起来、学生的思维被激活时，学生会积极参与到教学活动中来，也就会提高教与学的效率。同时，我们需要在实施过程中不断探索和积累经验。

5．注重联系，提高对数学和数学教育价值的整体认识，发展学生的应用意识和实践能力

注重联系是数学学习的要求。新课程模块的结构和对数学应用的要求更应关注数学不同内容、不同分支之间的联系，数学与日常生活的联系，以及数学与其它科学的联系。

案例1 要把握好函数与其他内容之间的联系，通过内容之间的种种联系，通过与社会生活的联系，理解函数的概念及其应用，体会为什么函数是高中数学的核心概念。为此，不仅在学习函数时，要结合函数的图象了解函数的零点与方程根的联系，根据具体函数的图象，借助计算器或计算机求相应方程的近似解；还可在平面解析几何的学习中通过类比、联想，体会直线的斜截式与一次函数的联系；在数列的学习中体会等差数列与一次函数的联系，等比数列与指数函数的联系；在导数的学习中通过与前面函数性质学习的比较，体会导数在研究函数性质时的一般性和有效性；通过具体实例，使学生感受并理解社会生活中所说的直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的变化规律，说的就是一次函数、指数函数、对数函数等不同函数模型的增长含义；等等。

案例2 在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形、与几何、与代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较，感受和体验向量在处理三角、几何、代数等各不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性。

案例3 要有目的、有意识地将算法思想渗透和应用在有关内容中，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用。

案例4 把握好数学与现实生活、与其它学科之间的联系，使学生对数学的应用有感性的认识。比如教学中要重视向量与力、速度、加速度的联系，三角函数 与力学中单摆运动、波的传播、交流电之间的联系。导数与现实社会、与其他学科的联系，所描述的现实社会、以及其他学科中的种种变化率，如：绿地面积的增长率、人口的增长率、排污率、运动物体的瞬时速度和加速度、药物浓度在人体内的瞬时变化率，等等。

6．恰当使用信息技术，改善学生的学习方式，加深对基本概念和基础知识的理解

信息技术的巨大功能

快捷的计算功能；丰富的图形呈现与制作功能；大量数据的处理功能；提供交互式的学习和研究环境；帮助学生将头脑中想到的信息通过信息技术工具得以显示和验证；等等。

信息技术的教育功能

学生通过信息技术工具的操作可以启发思维，开拓思路，通过主动积极的观察、分析和探索活动，进行探索和发现，体现了认识数学的过程、实践和创新的过程，帮助学生更好地认识和理解基本概念和基础知识，等等。

需注意的问题

当我们鼓励学生运用现代信息技术学习数学时，应让他们认识到现代信息技术的飞速发展，方便了我们的数学教与学，为我们的教与学注入了新的活力。但是，现代信息技术不能替代艰苦的学习和人脑精密的思考，他只是作为达到目的的一种手段，一种无可比拟的工具，从而合理而非盲目地使用信息技术。

四、教师在新课程实施中的地位和角色

教师是新课程实施的主体；是课程的研究者、建设者、和教材资源开发的重要力量。教师应成为数学教育改革的动力。

为此，要形成正确的数学观、学生观、教学观和评价观。

以听讲、记忆、模仿为主要特点的讲授和接受学习，能比较经济、快速地把知识内容传递给学生，但是，也更容易导致学生学习的被动、学习过程的消极，学习结果指向单纯的知识和技能。而以自主、合作、探究为特征的学习方式，更容易引导学生理解知识的意义、发展创造性、形成积极的学习态度和正确的价值观。

我们要努力做到：

──在学生记忆公式和定理的同时，更多地、想方设法地使学生学会怎样去思考问题、提出问题，学会面对陌生的问题和领域寻找解决问题的方法；

──使学生面对他不懂的东西，知道到哪里去寻找答案。

──设法把学生的眼光引向广阔的知识海洋，让学生知道，生活的一切时间和空间都是他们学习的课堂；

一句话──使学生学会学习；

我们要帮助学生认识到：

──如果只是重复前人的结论而缺乏自己的思考，就难有新的创造。

──对人的创造能力来说，有两个东西比记忆更重要，一个是他要知道到哪里去寻找他所需要的比他能够记忆的多得多的知识，再一个是他综合使用这些知识进行新的创造的能力。

五、在实施新课程教学中应注意的问题和对策

1．“三维目标”如何整合？

首先要对“三维目标”有一个正确的认识──既有层次，又是一个整体。再次是如何摆脱困惑──一是要认真反思、思考自己的教学现状；二是要与同行交流、向同行学习；三是向书本学习，学习理论、开阔视眼，再回到课堂教学中，指导教学实践。

2．在课堂教学中努力把关注的焦点放在学生方面

把关注的焦点放在学生方面，而不是不自觉地把关注的焦点放在自己身上，导致在课程上的紧张和压力，例如，担心驾驭不好课堂教学，担心出现“课堂太乱”的现象，等等。

3．在学习、实践、探索、研究中进行教与学

新课程实施的过程是一个不断学习、探索、研究和提高的过程，在这过程中，需要我们认真反思、独立思考、交流探讨、学习研究、与学生平等对话，在实践和探索中不断前进。

教师的成长之路──经验+反思+学习+研究，而不仅仅是经验+反思

新课程的实施要求提高教师的双专业修养

新课程的实施需要大家通力合作

新课程的实施需要我们积极探索和研究，克服改革过程中遇到的各种困难，保证改革的顺利进展