几何课程教改展望

第一节几何课程改革的历史回顾

　　欧氏几何在数学教学中的作用与地位究竟是什么？长期以来这是一个有争议的问题。特别是本世纪五十年代以后，国内外对中学几何课程改革曾经出现过大起大落的阶段。因此，现在来回顾总结以往的历史经验，总结对中学几何教育的研究成果是很有必要的。这样不仅可以避免在今后的教学上不再重复那些已经证明为不成功的经验，同时也可以确定哪些是经受过实践考验的成功的经验。我们可以从中获得教益，并且对哪些尚未明确的有关问题，我们也希望能对今后的研究提供一些有用的信息，以便确定可能采取的措施。这将会对今后二十一世纪的几何课程改革打下一个坚实的基础。

　　（一）“新数运动”对传统几何教学的冲击与

　　国际数学教育会议（ICMI）对几何教学的反思

　　"新数运动"对几何课程改革的影响

　　"新数运动"的出现，除了社会政治原因外，另一个重要的原因是来自数学学科本身和数学教育研究的发展。二十一世纪以来数学学科得到突飞猛进的发展，特别法国布尔巴基（Bourbaki）学派的出现，对数学的整体结构进行重新认识，许多新的数学分枝，如拓朴学，泛函分析等的出现并进入大学的课程，导致了大学数学课程内容的全面改观，这就必然会形成传统中学数学与大学数学之间逐渐产生了一条很深的鸿沟。与此同时，在五、六十年代现代心理学认知理论的兴起、特别是皮亚杰（J．Piaget）、布鲁纳（J．S．Brumer）等教育心理学家对有关学习理论研究的重大突破，提出一整套新的认知理论，为数学教材内容安排和教学方法的改进提供了坚实的理论依据，这就为"新数运动"提供了一个教育学、心理学方面的基础，终于在五十年代末到七十年代初，在西方国家中掀起了一场轰轰烈烈的"新数运动"。

　　1958年，在美国数学协会（MAA），全美数学教师联系会（NCTM）的支持和政府、基金会的资助下成立了"学校数学研究组（SMSG）全面负责中学数学教学的实验研究。同时，组织专家、学者、教师对中学数学教材进行重新编写。出版了一套全新的教材－－"统一的现代数学"（DICSM），并在相当大的范围内开展实验，这就是所谓"新数运动"的开端。六十年代以后，它几乎波及了所有西方国家。世界各地相继出现了大量的新课本，新课程。至此，在西方国家中，"新数运动"达到了高潮。

　　"新数运动"来势凶猛，但是由于实验不够，教师培训跟不上，过于急速推广等原因使这场运动带来了盲目性和理想化。到了六十年代末和七十年代初，就逐渐暴露出改革中的问题，表现在中学基础教学质量的大幅度下降，如学生计算能力的削弱、数学应用能力缺乏。因此，"新数运动"遭到了教师、家长及一些数学教育工作者的猛烈的批评，于是1973年在美国又出现了一个"回到基础"（BacktoBasics）的教学口号。重新强调学生用纸和笔来计算。

　　"新数运动"对数学教育改革最突出之点是在对传统几何课程的改革。最有典型意义的例子是法国布尔巴基学派的主要成员之一，狄奥东尼（J．A．Dieadonne）1959年在法国莱雅蒙成（Royaumont），由欧洲经济共同体成员参加的会议（OEEC）上所作的演讲，充分体现了"新数运动"对传统几何课程的看法，下面我们摘录演讲一部分如下：（见《数学课程发展》杰·豪森等著，陈应枢译，人民教育出版社，1991年版P86－89）。

　　《近50年来，数学家们不仅引入新的概念，而且引入新的语言，一种根据数学研究的需要，由经验产生的语言，这种语言能简明精确地表达数学，这种功能被反复检验，并已赢得普遍的认可。

　　但是直到现在，中学里还顽固地反对介绍这种新术语（至少法国如此），他们坚持使用那种过时的不适用的语言。因而当学生进入大学时，他们可能从未听到过如集合、映射、群、向量空间等这样的普通数学词汇，当他接触到高等数学时感到困惑、沮丧也就毫不奇怪了。

　　近来在中学的后2年或3年已经介绍了一些初等微积分、向量代数和一点解析几何知识，但这些课题常常被置于次要地位，兴趣中心仍和以前一样，保持在"或多或少地按照欧几里德方式纯粹几何，再加上一点代数和数论"。

　　我认为，拼拼凑凑的时代已经过去，我们的使命是进行一次深刻得多的改革－－除非我们甘愿使状况恶化到严重妨碍科学进一步发展的地步，如果把我思想中的全部规划总结成一句口号的话，那就是：欧几里德滚出去！

　　这些话可能使你们中的某些人受到震动，但我愿意详细地告诉你们一些充足的论据，以支持这些论述，……

　　这个结论也许有点耸人听闻，为了论证，我们假是某人要向一个来自另外世界的思想成熟的人教授平面欧氏几何，此人从未听说过欧氏几何，或者只是见到过它现代研究中的应用。那么，我想整个课程只需二三个小时就能解决问题－－其中一个小时用来叙述公理体系，一个小时讲那些有用的结论，第三个小时拿做少量有趣味的练习。

　　……

　　我所说的有用的结论，一方面是指二维线性代数（线性相关、基、直线、变换群和位似映射、平行线、线性映射、线性型和线性方程），这些只由公理体系（A）（二维实线性空间公理）得出：组成了所谓的平面仿射几何。另一方面是指正交性、圆、旋转、对称、角及等距群，这些则来源于公理体系（B）（内积空间）。

　　当然，由此观点看，"纯"几何与"解析"几何之间古老的争论就变得没有意义了，他们都只是向量语言的翻版而已（顺便说一句，直接应用向量语言常常更好些），完全可以按同一路线来发展三维几何，……

　　……

　　当然，"传统至上"的捍卫者对此会有个现成问答：不管人们是否相信，按他们的方式授欧氏几何，是启发儿童的思维使之真正理解数学的唯一方法。但由于从未试验过其他的方案，就我看来，这与其说是可取的主张，还不如说是一种信条》。

　　1980年8月在美国加州的伯克利（Berkeley）举行的第四届国际数学教育会议（ICME－－IV）上对这场运动的成败作了分析与评估。特别是对中学教育阶段为什么要学习几何重新作了反思，认识到几何教学并不是一件容易的事。但是在许多国家，对于在几何教学中所产生的各种问题和障碍却并不是面对它，克服它，而是仅仅采取毫无替代地删除其主要部分的方式，以逾越这些障碍，这种做法并不可取。甚至钬奥东尼本人在1980年的（ICME－－IV）会议上断言说：几何"突然冲破了其传统狭隘的束缚，……，已经显露出其潜在的力量及其异乎寻常的多面性和适应性。从而成为数学最广泛和最用的工具之一。"这与他在1959年所说的"欧几里德滚出去"！的说法已有很大的不同了。

　　英国数学家阿蒂亚（M．Atiyah）在谈到数学教育的内涵是什么时说"……欧氏几何最初是数学原始材料的巨大源泉，几个世纪以来都是学校教育的台柱，可是现在它失去了王位，被贬至后排座上。19世纪战场最终以代数与分析的胜利而告终，这最后必定导致欧氏几何在中学和大学的名存实亡，有种种理由使我觉得这是最不幸的事。……我一直试图指出，本世纪的数学很大程度上是与这样的困难作斗争。它们的本质特征是几何的。……当然对这种更一般的几何观点，欧氏几何的框架太窄了。然而，常常出现的情况是，欧氏几何下了台，却没有什么可以填补上这个空位。我对几何作用的减少感到遗憾的另一个理由是，几何直觉仍是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养，需知我不是强要别人增加任何一门几何课，我只是请求尽可能广地应用各种水平的几何思想。"（引自M．阿蒂亚著）《数学的统一性》，江苏教育出版社）。

　　从阿蒂亚的话中可以看出数学家们对"新数运动"在数学教学中完全废弃欧几里德几何是深表担忧的。认为这是"最不幸的事"。但是对在中学课程中为什么要学习几何？中学几何课的内容是什么？几何与计算机辅助教学（CAI）等问题均没有作出很好的回答。

　　1995年9月国际数学教育会议在意大利西西里的卡塔尼亚（Catania）召开，并提出了一份题为"21世纪几何教学的展望"的专题讨论文件。文中对本世纪下半世纪以来几何课程改革进行了总结，指出："在大部分国家中，几何似乎已逐渐在数量和质量两方面失去了其在数学教学中的中心地位，……情况通常是，几何已被完全忽略掉，或者只包含了其中非常少的有关内容。……几何问题趋向于局限在有关简单图形及其性质的初等"事实"上，而且根据报告其成绩也相对地差。……

　　近几年，数学课在强调问题提出和问题解决活动中，有一种向传统内容回归的趋势。然而，试图恢复早期作为许多国家学校几何课主要经典内容的欧氏几何远末得到成功。……

　　一般说来，他们在大学的期间对有关数学中要求更深的部分（特别是几何）的准备更为不足，因为较年青的教师是在忽略几何课程中学习数学的。他们在这个领域缺乏良好的背景，又转过来助长了忽视教学的倾向。……

　　这种情况，在那些正规学校教育缺乏传统的国家中尤为严峻，在某种情况下几何被完全从数学科目中剔除了……。”（引自“21世纪几何教学的展望”，数学通报，1995第五期）

　　以上就是“新数运动”以来国外的数学家和教育家对几何课程改革的看法和反思。

　　（二）义务教育下我国中学课程的演变

　　1976年后随着“四人帮”的倒台，全国进行了“拨乱反正”，教育秩序也逐渐恢复。在1978年我国制定了《全日制十年制学校中数学教学大纲》（试行草案），并据此大纲编写了全国通用新教材，首先提出了数学教育内容现代化问题；在高中数学中增加了微积分并进行实际教学，这在我国数学教育史上还是第一次，但新大纲和新教材很难适应全国教育水平极不平衡的现象。要求全国进行微积分教学实际上是不可能的，因此在1983年11月原教育部又颁发了高中数学教学的两种要求的数学教学“纲要”，提出了“基本要求”和“较高要求”两种标准，并编写了相应的两种课本称为“甲种本”和“乙种本”。1986年11月国家教委又按照“适当降低难度，减轻学生负担，教学要求尽量明确具体”三项原则，制定了过渡性教学大纲。1988年1月制定了《九年义务教育全日制中学教学大纲》，第一次提出了数学教学的目的的应从由升学教育到全民素质教育的根本转变。1990年全国教委又修订了数学教学大纲，公布了《全日制中学数学大纲（修订本）》。这次变化主要是规定在高中阶段数学分必修内容和选修内容。必修内容为文史类高考和高中毕业会考的命题范围。部分选修内容是理工医类高考的命题范围。这样修订的大纲虽然增加了弹性，但由于高考指挥棒的影响，实际上学校在教学上并没有选择的余地，单一化的课程结构至今未能改变。由于我国高中数学课程存在着内容陈旧，知识面窄，课程结构单一等弊端，国家教委基础教育司自1994年3月起，经过调查研究，编拟初稿，征求意见，审查修订等几个阶段，于1996年4月经国家教委审批，公布了《全日制普通高级中学数学教学大纲》（供试验用）。大纲中对数学教学重新作了安排，高中数学课程安排必修课，限定选修课和任意修课。高一、高二年级开设必修课，作为高中阶段的共同基础。高三年级分为文科、理科和实科三种水平，分别开设不同的限定选修课，作为分流的基础。并在1997年根据新高中教学大纲编写教材在部分省市面进行试验。（目前已经由人民教育出版社出版了"数学"高一、高二共四册）。

　　第二节现代数学教育思想

　　──问题解决与几何课程改革的新探索

　　（一）“问题解决”（ProblemSolving）口号的提出

　　及其对数学教学的影响

　　（1）“问题解决”的由来

　　“新数运动”在数学课程改革运动中的显著特征是：在中学数学课程中引进现代数学概念，使整个数学课程结构化、代数化；废弃传统的欧几里德几何，强调公理法。这样必然会忽视数学的实际应用，忽视对学生在归纳，类比，猜想等合情推理方面的培养；忽视对学生进行实际计算能力的培养。数学教育工作者，教师们也认为"在耗费了巨大的劳动与资助以后，实际结果还是比较不太显著，一个曾经受到质问的问题依然存在－－许多低年级学生仍然不会做加法！"因此，在1973年后美国数学教育理论中又出现了一个诱人的口号"回到基础"。（BacktoBasics）

　　"回到基础"强调"最低基本要求"，重视"计算技术"这种矫枉过正的做法不能不引起一些有识之士的忧虑。认为这是一种倒退，它全面抛弃了以往数学教育改革所取得的成果。美国国家课程测试（NAEP）主席指出了这种倒退说："一个时期以来公众特别强调基础，而评估数据都表现学生的数学能力下降了，解决问题的能力，理解概念的能力尤其下降得多。"为了防止这种倒退，又试图纠正过去数学教学改革中过于偏重理论结构，忽视应用的倾向，在1980年4月全美数学教师协会（NCTM）公布了一份名曰《行动的议程－－80年代数学教育的建议》（AnAgendaforAction）的文件。此文件指出，应该从实用出发精选传统内容，增加应用的新课题，不断适应新发展的需要。其中第一条就说："必须把问题解决作为80年代中学数学的核心。"并认为"在问题解决方面的成绩如何，将是个衡量个人和民族数学教育成功的有效标准，问题解决的重要性是不言而喻的，数学课程要围绕问题解决来组织。

　　1980年8月第四次国际数学教育大会（ICMI）在美国加州伯克利召开。会上讨论了全美数学教师协会提出的中学数学的改革方案，即《行动的议程》。从此，"问题解决"的口号第一次出现在国际数学教育界。这一口号一经提出，立即得到其他国家的关注，例如1982年英国数学教育界提出一个文件《数学重要》（MathematicsCounts）中指出"应将问题解决作为课程的重要组成部分。"强调"数学只有在解决各种实际问题的情况下才是有用的"。从此对问题解决的研究和实践越来越深入和广泛，并逐渐发展成为世界性的数学改革的口号。

　　"问题解决"作为数学课程的核心在美国已暴露出一些缺陷。例如，"几何经验主义"在美国学校的盛行，这就表现出问题解决有一定的局限性，因此美国数学教育家萧恩菲尔德，（A．Schoenfeld）指出："单纯的问题解决的思想过于狭窄了，我希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题……而是帮助他们学会数学的思维。"

　　（2）"问题解决"的口号对数学教育的影响

　　如何理解作为数学教育改革口号的"问题解决"？

　　自80年代初"问题解决"作为数学教学改革的一个口号提出已来已有十几年的历史，它不但成为数学教育工作者研究的一个课题，而且也成为心理学家、教育学家研究的一个课题。目前已取得不少研究成果。在美国已有不少专著出现，其中较著名的有Silver著的《Teachingand　Learningof　Mathematical　ProblemSolving》（1985年出版），Charles著的《The　Teachingand　Assessingof　Mathematical　Problem　Solving》（1989年出版），目前对于"问题解决"作为一种数学教育思想有以下几种看法：

　　①问题解决是数学教育目的之一，且必须作为一个数学教学目的。

　　美国1989年《学校数学课程评估标准》中提出了五条标准作为学生具有"数学素养"的准则，并把它作为数学教育改革的具体目标。其中第三条为：

　　有问题解决能力，这里的问题可以来自数学内部，也可以来自数学外部。但更主要的是来自现实世界的问题。要求学生有归纳问题、进行调查研究、收集数据、进行论证、找出答案的能力。

　　②问题解决是数学教学活动的过程。

　　正如美国数学管理者大会（NCSM）所认为的那样，"将先前已获得的知识用于新的，不熟悉的情境的过程就是问题解决。"这实际上把问题解决作为一个数学教学过程。当然，这不是一般的数学教学过程，它是一个能动的，不断发展的过程。是学生通过数学思维，去探索、发现、创新的过程。它除了包含一系列的思维活动外，还与认知、情感等因素有密切的联系。因此，"它是一个过程，而不是结果，这就是问题解决。"

　　③问题解决是一种数学教学方式

　　美国《学校数学课程评估标准》一文指出："数学内容的学习就应该用问题解决的方式进行。"这就明确提出了问题解决应该作为一种数学教学方式。当然，这里不是说所有数学知识，技能的学习都要按问题解决的方式来进行的，而是针对传统的教学方式，由教师讲学生听的方式而言。对某些数学知识、技能的学习，如某些数学思想的学习，采取问题解决的教学方法有其优点。事实上，并不存在一种最好的教学方法。而且如果只运用唯一的一种教学方法进行教学，其效果肯定是不好的。这是因为它不能适合所有学习条件和特定的学生。正如法国教育家斯多惠所说的那样："如果使学生惯于简单的接受和被动的工作，任何方法都是坏的；如果能激发学生的主动权，任何方法都是好的。"问题解决作为一种数学教学方式，恰恰就需要激发学生的主动权，因此把问题解决作为一种教学方式就值得进一步探讨与研究了。

　　（3）"问题解决"在教学教学改革中的作用

　　现代教育理论指出，学生在正规课程内容学习时，会有意无意地接受兴趣和情感等熏陶。这种熏陶可以称为潜课程（Patantcurriculum）或称隐蔽课程（Hiddencurriculum）。通俗地说，就是学生在学习知识的过程中，还能形成一些非智力因素。而这些非智力因素有些可能具有积极作用，有些可能是消极的。例如，一个学生在学校可以得到优秀的数学成绩，但可能由于某种原因，他会"讨厌"数学。因此在离开学校后，他就再也不会去主动研究数学问题了。事实上，我国某些数学奥林匹克竞赛金牌获得者，不愿进入大学数学系学习就是一例。美国数学教育家波利亚（G．polya）曾明确指出："你卷进问题的深浅程度将取决于你解决它的愿望的殷切程度。除非你有十分强烈的愿望，否则要解决一个真正的难题的可能性是很小的（《数学的发现》第二卷）。"Schoenfeld曾经调查了美国学生中十分普遍的一些错误观念：数学学习基本上靠记忆和模仿；每个问题都有固定的答案和解法；而且数学问题应该在短短几分钟内就能解决等等。同样，在我国中学生中间也存在相同的看法。因此，我们在数学教学过程中必须努力去分析形成这些错误观念的原因，同时要努力去改变这种不良的"学习环境"。帮助学生逐渐形成新的正确的观念。这就是说在"数学教学过程中必须教潜课程，"而大量的实践表明在"问题解决"的教学过程中，真正是体现了这个"潜课程"的现代数学教育思想。

　　问题解决教学要求教师帮助学生学会自已思考问题。这样教师就不只应该象教练一样用示范的方式来解决问题，教师必须给学生提供数学活动的机会，使学生能参与进来。因此，这就不同于传统的教学中教师所扮演的角色。一般说来，在问题解决教学过程中教师既是示范者；（即教师应该提供正确解题或证明的示例）又是顾问，辩论会主席；（即教师应该帮助学生进行思考，又能提出问题，并把大部分思考留给学生）。又是质疑者；（即教师应该通过询问来促使学生做出合理的和有目的结论，并给出自己结论的证明）。因此，可以说在问题的教学过程中，大大地丰富了数学教师的主导作用的发挥。

　　问题解决的教学过程包括问题的提出和形成的过程。这就需要敢于突破传统思想的束缚，鼓励学生大胆猜想，从整体上把握问题，广泛地应用分析、综合、一般化、特殊化、演绎、归纳、类比、联想等各种思维方法，这就能充分培养学生的探研问题和发现问题的能力。这就培养了学生的创新精神。同时，在问题解决的教学过程中，学生是以群众参加这个过程的。这就可以培养学生之间的合作精神。这些都是现代思想所提倡的。

　　（二）当前几何课程改革的新探索

　　在古希腊，几何是数学的同义语。尤其是欧几里德《几何原本》问世以来，由于几何学已成为一个完整的概念体系，定理严格地一个接一个，而最初的起点来自公理和定义，所以人们认为几何就是真理。几何不仅成为演绎科学的一种范例，也是最古老的教学法的范例。二十世纪，特别是希尔伯特通过对欧氏几保公理体系的研究，提示了传统几何中所存在的缺陷，几何的这种至高无尚的地位逐渐消失了。正如美国数学家阿蒂亚（M．Atiyah）所说："欧氏几何……几个世纪以来都是学校教育的台柱，可是现在它丢失了王位，被贬至后排座上，"荷兰数学教育家弗赖塔尔也说过："要想以强化几何的演绎结构来拯救传统几何那是注定要失败的。"那末，我们究竟如何来"拯救"现在的几何呢？

　　（1）几何教学现代化问题

　　几何究竟在中学数学教学中应占什么地位，以及如何改革中学几何课程等问题成为目前迫前需要解决的问题。为此吴文俊先生在《数学教育现代化问题》（见"数学通报"1995年，第2期）一文中明确指出：数学教育现代化问题就是机械化问题。吴文俊先生说"现代化就是机械化，能够把这两者等同起来。"对于这个等同"你可以有不同的理解，完全不同的理解。我说如果要机械化的话，大学现在还谈不上，中、小学本来应该是机械化的。""所以我想谈的主要是中学范围里边的数学现代化，或者照我的看法，所谓数学机械化的问题。"

　　吴文俊先生根据数学现代化就是机械化的思想，特别对中学几何课程改革提出了一整套看法。吴先生说："对欧几里德几何应该怎么看，我说明一下我的看法，我有点倾向于恩格斯的数学关系。数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里德几何体系的特点是排除了数量关系，"，"……对于几何，对于研究空间形式，你要真正的腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好办法，当然欧几里德漂亮的定理有的是，漂亮的证明也有的是。可是就算你陷在里面，你也跑不了多远……可是我说要真正的腾飞呀，我想不出你有什么好办法。"这里吴文俊先生明确指出为了使中学几何"腾飞"，必须采取"数量化"的方法，也就是要及早地引入坐标，使几何"解析化"，使几何可以计算。这是几何机械化的开端。也就是几何现代化的开端。

　　吴文俊先生又提出"……就像小学赶快离开四则难题引进代数一样，中学也是赶快离开欧几里德，用什么方式，引进什么程度，这个从长计议。可是基本上应该及早地经进解析几何"，"四则难题让位于代数，欧氏几何让位于解析几何，这就是我的基本主张。至于怎么样具体处理，那是另外一回事。"

　　吴文俊先生的观点是很有见解的，也是非常深刻的，这是现代数学思想的发展。这种观点在某种程度上与著名数学家陈省身教授"好的数学与不好的数学"的观点有类似之处。陈省身先生在《二十一世纪的数学》（见"数学进展"第21卷，第4期1992年P385－389）一文中指出：

　　"一个数学家应当了解什么是好的数学，什么是不好的或不大好的数学，有些数学是具有开创性的，有发展的，这就是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，但渐渐变成一种游戏了，……让我举例来谈谈，大家是否知道有个拿破仑定理？（作者注：拿破仑定理是初等几何的一个定理，即在任意三角形的三条边上向外各作一个正三角形，则所得三个正三角形的中心构成一个新的正三角形）。这个数学就不是好的数学，因为它难有进一步发展。……那末什么是好的数学？比如说解方程就是，搞数学都要解方程……"

　　应该说我们教给学生的数学是好的数学，不应该教给学生一些不好的数学，现在欧几里德几何实在已难以发展，可能现在或将来欧几里德几何都会成为不好的数学，那末我们为什么还要再把它教给学生呢？所以吴文俊先生说："中学赶快离开欧几里德。"吴先生又说："……说到几何学，我还要说一句非常极端的话，我认为中国的传统几何才是真正的几何学。（这里吴先生说的中国传统几何学是指我国古代10、11世纪用天元、地元之间的一种方程。天元、地元的引进使几何的代数化成为可能，实际上就是笛卡儿的解析几何思想－－作者注）。而决不是欧几里德几何是真正的几何学。这是我个人观点，是不能作为定论的。"

　　由于吴文俊先生创造了"吴方法"，使初等几何机器证明得以实现。同时由于电子计算机的发展与普及，计算辅助教学（CAI）逐步发展。因此几何课程的现代化（或机械化）已经成为可能。

　　（2）教育数学的新探索

　　为了把中学课程改革深入下去，张景中先生就大力提倡这种"数学上的再创造"，并称之为"教育数学"。张景中先生认为要根据教育规律，对数学学科的成果或说是具体的数学内容施以数学上的再创造，这种再创造是为了数学教育的需要，同时又超出了"教学法上加工"的范围，这就形成了教育数学。

　　数学知识，特别是作为数学教育内容的基础知识是现实世界的空间形式和数量关系的反映。同样的空间形式或数量关系，可以用不同的数学命题来反映。但是，有的反映方式便于学习、掌握、理解、记忆；有的则不然；有的反映则抽象迂回；有的适合于中学生学习；有的适合于科学研究。因此，尽管数学命题（或说反映形式）都是客观事物的反映，但教学效果会大不一样。例如，用罗马数学I、II、III、IV、V或中国的方块文字一、二、三、四、五；这些都是自然数的反映，但如果用它们来进行算术四则运算与阿拉伯数学1、2、3、4、5来进行四则运算的教育效果的差别是显而易见的。因此，为了教育效果，我们必须重新审新现在已有的数学知识，去检查它在教育上的适用性。联系前后左右的教学内容，联系学生的心理特征与年龄特征，去看一看，问一问哪种反映方式比较优越，能不能找出更优越的反映方式。这就是教育数学研讨的问题。例如，研究平面图形的性质，可以学习欧几里德的《几何原本》；也可以学习"解析几何"或"质点几何"、"向量几何"，也可以再创造出一种新的几何体系，考察一下究竟哪种形式反映客观图形方式的几何更便于学生的学习，这便是教育数学。

　　从教育数学的角度看，有些数学为什么学生觉得难学，很可能是由于这些数学成果未能给客观世界提供好的反映形式。这就需要我们去再创造，再寻找更优的反映方式。也就是说通过教育数学的研究去改造现有的数学概念的表达方式，以提供更便于学生学习的教材，（见张景中著《教育数学探索》四川教育出版社）。

　　以上就是张景中先生对目前中学课程，特别是平面几何课程改革的新见解。这种具有创新意义的见识无疑地会对今后数学课程改革产生很大的影响。

　　张景中先生的教育数学以平面几何为突破口，进行了深入研究，提出了用"面积法"，"消点法"重新革新传统的几何课程，下面我们简单地介绍一下"面积法"和"消点法"。（见张景中著《平面几何新路》一书），并说明如何对具体的数学内容（平面图形的一个性质）作数学上的再创造。

　　例：设ABCD的对角线AC，BD交于O点，求证：AO=CO

　　把上述问题用于以下几步来重新叙述：

　　①任取平面上不共线三点A、B、C；

　　②过C作AB的平行线，过A作BC的平行线，两线交于D；

　　③连AC，BD交于O；

　　④要证：

　　证明过程：

　　首先消去O点：因为O是AC，BD交点，故

　　再消去D：由CD∥AB，得S(△ABD)=S(△ABC)

　　由AD∥BC，得S(△BCD)=S(△BCA)=S(△ABC)

　　于是

　　这个命题的传统证法是：先证△ABD≌△CDB，再证△ABO≌△CDO从而得出AO=CO，证明过程中要用到ABO=CDB。这两个内角是内角。但为什么是内错角呢？这是由图上直观得出的。由此可见，欧几里德传统方法不仅思路难以掌握，而且往往要用直观，而上述面积法，消点法则往往兼有严谨与简捷这两个方面的优点。

　　张景中先生经过精心的研究得出所有平面几何的命题都可以采用"消点法"来证明。为此，张景中先生在《机器证明的回顾与展望》（见"数学通报"1997年第1期）一文中指出：

　　"吴（文俊）法的成功使一度冷落的几何定理机器证明研究活跃起来，用代数方法证明几何定理的方向受到重视，新的代数方法接连出现。……用吴法可在微机上很快证明困难的几何定理。……这一进展是自动推理领域一大突破。被国际同行誉为革命性的工作。"

　　"代数方法不能使人满意的是，它所给出的证明是关于大多项式的繁复的计算，人难于理解其几何的意义，也难于检验其是否正确，能否让计算机生成人能理解和易于检验的简明巧妙的证明，即所谓可读性证明，是对自动推理和人工智能领域的一个挑战性课题。"

　　张景中先生在1992年解决了这个课题，实现了几何定理的可读性证明的自动生成。这一新方法既不以坐标为基础（代数法的基础是利用坐标），也不同于传统的综合方法，而是一个以几何不变量为工具，把几何、代数、逻辑等方法结合起来形成一套作图规则，如上述例子中作图步骤①②③，建立与这套作图规则有关的消点公式，当命题条件以作图语言的形式输入时，程序可调用适当的消点公式，把结论中的约束逐个消去，最后达到水落石出，即得出结论。而消点过程的记录就是一个具有几何意义的可读性证明。在大多情况下，消点法也可用笔纸证明定理。从而它结束了两千多年以来几何证题无法可依的局面，把初等几何解题法的层次推进到机械化的阶段。

　　吴文俊先生的"数学教育现代化"即机械化的思想，与张景中先生的"教育数学"的见解与科研成果，毫无疑问会对几何课程改革提供一个广阔的前景，并指出了一条具体的道路。他们的共同之处就是对传统几何课程改革必须从根本上做起，即必须全方位，彻底地重新审视现有的中学全部几何教学内容，对传统几何来一个"脱胎换骨"的彻底改造，采用一种全新的方法，来讲授几何。这样，几何课程改革才能有所突破。

　　（三）未来的挑战与关键问题

　　目前世界各国对21世纪的几何教学都有一些展望，并提出一些设想。各种新教育理论的出现以及计算机辅助教学（CAI）的发展，对几何课程改革的影响很大。因为计算机能使一些"虚拟"的、"想象"的图形变为现实，并能展现出图形的变化过程，这恰恰可以把"学数学就是做数学"的新数学理论付之实现。这样可以使学生在日常生活中无法得到的或只有经过长期工作后才能取得的经验，在短时期内获得。计算机也可以使学生对几何变换有更深的理解。例如在计算机平移、旋转、反射对称、放大、缩小等变换是很容易实现的。这就可以导致对几何对象给予一个动态的显示，必将有助于学生了解几何图形的不变性质。这些都将会影响今后几何课程的教学内容和方法，国际数学教育委员会（ICMI）在1995年提出了一个"21世纪几何教学的展望"的专题文化讨论文件，其中包括了对今后几何教学目标、内容、方法等提出了一系列问题，供大家讨论，下面摘录如下：

　　①目标－－为什么教授几何是可能的，必要的？下述目标中，对几何教学最贴切应是哪些？

　　描述，理解和解释现实世界及其各种现象；

　　提供一个公理化的范例；

　　为学生的个人活动提供丰富，多样的问题和习题集；

　　对学生进行作出猜测、表述猜想、提出证明、找出例子和反例的训练；

　　作为其他数学领域的一种服务工具；

　　用于公众对数学的感性认识。

　　②内容－－应当教什么？

　　在几何教学中强调"深度"还是强调"广度"更好？确定一个核心课程是否可能或可取？……

　　是将几何作为一门专门的、独立的学科进行教学，还是将其融合到一般的数学课中？

　　以何种方式学习线性代数才能增进对几何的理解？抽象的向量空间必须在哪一阶段引入？其目的是什么？

　　在课程中包含若干非欧几何的内容是否可能和有用？

　　③方法－－我们应当如何教几何？

　　几何教学中公理化的作用是什么？是一开始就应当叙述完整的一组公理？还是逐步地通过"局部演绎"方法引入公理更可取呢？

　　按照传统，几何是一门证明定理的科目：那么，"定理证明"是否只能局限在几何课中？

　　随着学生年龄和学校级别的逐步递增，我们是否要给学生严格程度不同的证明？证明的目的是为个人理解，他人相信，还是为了解释、启发、验证？

　　参考文献

　　（1）丁尔升编中学数学教材教法总论高等教育出版社

　　（2）曹才翰编中学数学教学概论北京师范大学出版社

　　（3）杰·豪杰等著数学课程发展人民教育出版社

　　（4）弗赖登塔尔著作为教育任务的数学上海教育出版社

　　（5）张景中著教育数学探索四川教育出版社

　　（6）吴文俊数学教育现代问题数学通报1995．2

（7）张景中机器证明的回顾与展望数学通报1997．1