一道高考题的数学美

数学美是数学的魅力之一，数学美是数学能吸引众多数学爱好者的原因之一。2010年广东高考的一道解析几何题如下：

题目：(2010年广东卷理20)已知双曲线的左、右顶点分别为，，点，是双曲线上不同的两个动点.

(Ⅰ)求直线与交点的轨迹的方程;

(Ⅱ)若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且，求的值.

本文只讨论问题(Ⅰ)，欣赏其中的数学之美。

    1．解法之美

    一个数学问题可以从多种角度去思考，并且都能得到最终想要的结果。那么这个问题就是一个好问题。上述题目问题(Ⅰ)就是这样一个问题，下面给出几个不同思考角度的几种解法：

解法1：由题设知，，，则有

直线的方程为，……①

直线的方程为.……②                            

联立①②解得交点坐标为，，即，，……③

则，.又由点在双曲线上， .                                         

将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为，且.

解法2：由题设知，，，则有

直线的方程为，……①

直线的方程为.……②

设点是与的交点，由①②得. ……③

又点在双曲线上，因此，即. 代入③式整理得.

因为点，是双曲线上的不同两点，所以它们与点，均不重合.故点和均不在轨迹上. 过点及的直线的方程为.

解方程组得，.所以直线与双曲线只有唯一交点.故轨迹不经过点.同理轨迹也不经过点.

综上分析，轨迹的方程为，且.

解法3：由题设知，，，设，

因为点在上，点在上，所以， . 两式相加得，，即.又由得， ，即.……①

，

， ， ……②

则，.而点在双曲线上， .                                                      

将①②代入上式，整理得所求轨迹的方程为，且.

解法4：设点是直线与的交点，因为、、三点共线，所以

， ……①

因为、、三点共线， 所以，……②

①②得．……③

又点在双曲线上，因此，即．代入③式整理得.因为点是双曲线上的不同两点，所以它们与点，均不重合．故点与均不在轨迹上．过点及的直线的方程为．

解方程组得．所以直线与双曲线只有唯一交点．

故轨迹不经过点．同理轨迹也不经过点．

综上分析，轨迹的方程为，且．

    2．结构之美

    从上述的解答过程可看到，由双曲线的顶点出发，分别引出两条动直线与，探究两条动直线交点的轨迹，恰是与已知双曲线在结构上对称的椭圆。这样的题目与所求结果只差一个符号：“”变成“”，实在是让人叫绝。

    而且，上述方程由“”变成“”可以，由“”变成“”也可以，如下：

命题1：已知椭圆的左、右顶点分别为，，点，是椭圆上不同的两个动点.则直线与交点的轨迹的方程为：()。

证明：以上4种解法都可以证明之，这里只给出解法1的证明过程：由题设知，，，则有直线的方程为，……①

直线的方程为.……②

联立①②解得交点坐标为，，即，，……③

则.又由点在椭圆上， .将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为().

双曲线与椭圆这两个方程通过两直线的轨迹问题相互之间转换，再推广更一般的双曲线与椭圆也通过上述的两直线轨迹问题的相互转换得：

命题2：已知双曲线(或椭圆)的左、右顶点分别为，，点，是双曲线(或椭圆)上不同的两个动点.则直线与交点的轨迹的方程为椭圆，且(或双曲线，)。

证明：命题2的证明也都可以用上面的4种解法来解决，证明过程是类似的，限于篇幅，这里就不详述了。

    3．对称之美

由题目的左、右顶点分别为，知，和是关于轴对称的，而由点，的坐标知，和是关于轴对称的。若把这两个对称关系改变一下，即，和是关于轴对称，和是关于轴对称，又会出现什么样的结果呢？

命题3：已知双曲线(或椭圆)的上、下顶点分别为，，点，是双曲线(或椭圆)上不同的两个动点.则直线与交点的轨迹的方程为椭圆，且(或双曲线，)。

证明：(先证由双曲线变成椭圆)

由题设知，，则有直线的方程为……①

直线的方程为……②

联立①②解得交点坐标为，，即，，……③

则且.又由点在双曲线上， .将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为，且。

(再证由椭圆变成双曲线)

由题设知，，则有直线的方程为……①

直线的方程为……②

联立①②解得交点坐标为，，即，，……③

则.又由点在椭圆上， .将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为， 。证完。

    从命题3可看到，题目中条件的对称性可以互换，而得到的结果是把双曲线变成椭圆，或椭圆变成双曲线，在结构上都有对称之美。

    4．结束语

    以上是在解题过程中，发现了2010年高考中的这道解析几何题的数学之美。这种数学美，即使是在紧张的应试过程中，也能发现其中的美妙规律，也会获得美的感受。因此，像这种蕴含丰富的数学美的题目，应该要多出现在各大考试之中，让更多的人去欣赏数学之美，让更多的人去喜欢数学，让考试成为一种赏美的乐事。

   参考文献：

    ①王林全．数学美的丰富蕴含[J].北京:数学通报，2011.03．48-51。

    ②易南轩．解题中的数学美[J].西安:中学数学教学参考， 1998.07。32-34．

    ③梁俊奇，徐华伟．审美直觉与数学解题[J].北京:数学通报，2002.10．26-28．