初中数学应用性问题教学现状及对策

【内容提要】本文从义务教育阶段《数学课程标准》的要求和实际教学两个方面阐述了当前初中数学课堂上在应用性问题教学过程中存在的问题，并且从一名教师的角度提出了一些针对性建议，如在教学过程中应当关注小学阶段对应用性问题的要求水平，关注应用性问题的本质教学，关注初中三年的连续性和延展性，加强阅读能力的培养等。
【关键词】应用性问题，教学现状，对策
 
一、新课程背景下应用性问题教学的现状
    引例（江西省南昌市，2004年）：仔细观察下图，认真阅读对话：
 

    根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？
    这是一道很有创意的应用题。特点之一是形式新颖，将已知条件全部融于三人的对话之中，不落俗套，其二是贴近生活，给考生呈现的是一幅“生活小照”的画面，如身临其境；其三是体现了课改新理念和命题改革的方向。给学生提供了探索与交流的空间；其四是综合性强，本题将方程、不等式及整数解融于一体，知识覆盖面广。
    2004年是新课标课改实验区较大面积步入中考平台的一年。在课程标准的影响下，全国各地在教材的编写上，在考试题目的设置上可谓百家争鸣、百花齐放，其中应用性问题更为普遍。面对新的课程改革，作为数学教师，我们反思在以往的应用性问题教学过程中存在什么问题，在调整教学方法的过程中怎样更冷静地理解应用性问题教学的本质，怎样在课堂上更好地体现应用意识和数学思维方法？这是一个值得认真思考的问题。
    实际上，从理论层面上讲，对于应用性问题，《数学课程标准》中已经指出：数学的广泛应用是数学的基本特征之一。数学应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。在培养学生应用意识的过程中，提出要注意以下问题：
1．要注重数学知识的来龙去脉；
2．鼓励学生从数学的角度描述客观事物与现象，寻找其中与数学有关的因素；
3．搜集应用数学的事例，加深对数学应用的理解和体会；
4．为学生运用所学知识解决实际问题创造条件和机会。
    显然，培养中学生的数学应用意识和实践能力已成为新课程标准的基本理念和要求。那么，从实践的角度来讲，目前的现状是怎样的呢？一方面教材对应用性问题进行重新选编，较之以往有很大的改进，但在例题的设计、选取和改良过程中仍然出现了一些不切实际的“假应用题”，忽视了数学应用性问题内在的建模规律。比如《数学通报》05年第8期刊登的南京的阎硕老师的文章，他指出了教材中应用性问题设置的几个问题：题目条件矛盾，不合实际；解答纯数学化，不考虑生活实际；解答牵强附会或者考虑不周等等。另一方面，教师对应用性问题的重视有所加强，但在实际的教学过程中，在理念和教学方法仍然存在诸多问题，比如：初中教师不了解小学毕业生现有的数学应用的能力水平，忽视了学生的认知基础；在初中三年的应用性教学过程中没有层次；教学过程中过于关注问题的表面而忽视了数学知识和思想方法的本质以及为了应用而应用等等。
    对于以上的这些问题，一些数学教育家都提出过一些观点，其中不少观点针对性强，点重要害，但是也有很多观点还是处在理论的层面上，缺乏一些实际的操作和可行性建议，另外还有一些观点是借鉴了国外一些发达国家的做法，但对于我国的教育形势能否很好地去落实，还是存在一些疑问的。
二、新课程背景下应用性问题教学中存在的问题
    制约和影响应用性问题课堂教学的因素有很多，本文着重分析课堂教学的引导者——教师。
随着课程改革的不断深入，教师对应用性问题教学的认识也在不断深化，相对于以往的教学，无论是在选题还是在引导学生分析的环节上都有了很大的突破，甚至有很多创新之举。但同时，因为教师可以发挥的空间可大可小，所以也存在“以不变应万变”的情况，或者相对以往没有明显改进，因此仍然存在很多问题。
1．教师对应用性问题中所包含数学思想的认识有待加强。
    《课程标准》认为，通过应用性问题教学，培养学生的应用意识，即让学生认识到现实生活中蕴含大量的数学信息、数学在现实生活中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻求其实际背景，并探索其应用价值。所以，教师在课堂上应该通过应用性问题，引导学生深化对一些基本数学思想的认识，引导学生树立建模的意识，形成一些建模的方法，并且能够对结果进行恰当的解释。
    在北京市义务教育课程改革实验教材的第13册，编者对其中的一元一次方程的应用做了很大的修改，在实际教学过程中也发生了很大的变化。其中最为明显的变化是改变了以往重视题型训练的形式，更突出了方程这一数学模型的意义。具体来说，以往的教学是把应用题明确分为几类，比如行程问题（其中包括相遇问题和追击问题等）、工程问题、调配问题、利率问题等等，并针对每一类题目给出解题的模式，然后让学生进行反复的练习，从而达到熟练的程度。但是现在，则更加注意突出用方程解题的优势和思想，不再明确地分类，不再刻意让学生去记忆各类问题的解题模式，重点把握把“未知”转化为“已知”的思想方法，体验把未知放在与已知数平等的地位上分析问题的过程，体会方程是刻画现实世界的一个非常有效的数学模型。这一变化不能不说是一个非常重要的转变。
    但是，这一转变并不是普遍性的。有很多教学仍然是针对每一种例题给出解题模式，进而让学生在课堂上反复演练，让学生被动地接受这种方法，机械地操作。这样做的结果就是学生没有掌握分析问题的方法，对其中所包含的重要的“方程”思想也没有深入的理解，这样的“应用”完全失去了应用的必要性。再比如，新的《课程标准》增添了很多新的内容，其中很重要的一部分是统计概率知识。对于计算简单事件发生的概率在现实生活中很多的应用，其中也包含着重要的数学思想（下文会有具体阐述），但是有的教师由于认识的局限，很多情况下就题论题，而失去了核心的问题。因此，对于应用性问题中所包含的数学思想有待加强认识。
2．教师对于应用性问题教学中的衔接问题没有给予更为有效的关注。
    作为一线的教师，我们都知道对于学生来讲，从小学升到初中是一个重要的飞跃，有多优秀学生因为不能适应初中的教学风格和教学内容而慢慢分化为学习吃力的学生。其中，应用性问题对于学生来说，无疑是一个比较大的挑战。特别是在初一年级对于列一元一次方程解应用题，一方面学生感觉太难，原本用算术方法很容易解决的问题非得要用方程来做，舍易求难；另一方面老师会抱怨学生分析能力差，很显然的事情也要反复讲解。最后，造成的结果是会做的学生还是会做，而不会做的学生讲完之后仍然不会。
    造成这种情况的原因之一，就是初中的教师不太了解小学的教学内容和要求水平，而只是凭借直觉和以往的经验来判断学生已有的知识经验基础。其实这种衔接不到位的情况不仅仅发生在初中阶段，事实上，学生从初中到高中也同样存在这一问题，比如有的高中教师在讲曲线方程时，对于椭圆方程的建立这一环节处理得非常草率，教师感觉学生对于无理方程的化简已经非常熟练，但事实上学生根本没学过。
    由此看来，尽管初一、高一教师都在努力做好衔接教育，但是对于低年级的教学内容和要求并没有足够的认识，没有关注学生已经学过什么内容，没有关注学生对同意内容掌握到什么水平，也没有充分关注不同学生的不同基础，所以在课堂上仍然按照自己的想法凭借自己的经验进行教学，使得“教”与“学”这两个应当紧密相连的环节脱离开来，以致于我们要力争做好的衔接工作并没有落到实处。
3．教师对于应用性问题的教学往往超出学生实际的知识经验基础。
    新课标和教材都强调学生在接受知识时所具有的一种螺旋式认知结构。所以在编写题目时都突出了这一特征。比如，对于方程的应用，一次方程比较简单，旨在突出方程的解题思路，分式方程在题目难度上有所加强，二次方程时则融入更多实际的背景，对于学生读题、理解都有了更高的要求。再比如函数的应用，初二阶段涉及到简单一次函数的应用，初三第一学期涉及二次函数的应用，第二学期则要求比较高的层次，要求二次函数与其它知识的综合应用。几何方面，比如对于视图的认识，初一接触简单的试图，经过两年的提高，初三进一步加深对于试图的理解和应用。
但是，尽管教材中这些内容的安排考虑到学生的认知发展水平和要求，可实际上教师在课堂上往往选取一些超过学生接受范围的题目，比如下面的例题：
    一牛奶制品厂现有鲜奶9吨，若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1吨鲜奶可获利1200元，若专门生产奶粉销售，则加工1吨鲜奶可获利用2000元，该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3吨；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1吨，由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两种产品不能同时生产，为了保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间全部加工完毕。假设你是厂长，你将如何设计方案，才能使工厂获得最大利润，最大利润是多少？
    此题原本是应该在初三阶段使用，但确被很多教师放到初一阶段大讲特讲，不仅造成了喧宾夺主的局面，而且主观上也造成了学生应用知识解决问题的难度，从一定程度上说限制了学生应用数学的积极性，让学生感觉数学的应用太难了。
    类似这样的问题还有很多，特别是在程度稍微好一些的学校。给学生提供一些挑战的机会，让不同的学生在数学学习方面获得不同的发展，这是我们应该提倡的。但是，一定要考虑到不同学生的认知基础，不要形成“拔苗助长”的尴尬局面。
4．教师对于应用性问题的选取有待优化。
    我们知道，课堂上例题的分析对于实现教学目标起着重要的作用，所以，选取的例题必须是典型的。但是，笔者在实际的听课过程中发现了一些例题的选取并不合理，其中主要的问题是选取的题目没有突出教学目标。
    比如有的教师在引入列一元一次方程解应用题时安排这样的引例：为了促进经济的发展，铁路运输实施提速。如果客车的行驶速度每小时增加40千米，提速后由北京到某地1620千米的路程只需要行驶13小时30分。那么，提速前客车每小时行驶多少千米？提速前从北京到某地需要多少时间？这道题目是某套教材上的引例，但是，对于授课教师选用此题来引入一元一次方程，笔者持有不同意见：如果用学生非常熟悉的算术方法来解决此题非常简单，为什么一定要用方程来解？为什么不选用一道用算术解题较为繁琐而用方程方法非常简便的例题作为引例呢？选用这样的引例才更符合学生的认知习惯。
三、新课程背景下应用性问题教学建议
1．关注小学阶段对应用性问题的要求水平
    为了明确小学阶段的具体要求层次，本文以北京市义务教育课程改革实验教材为例，举例简要说明小学5、6年级的教材在统计问题方面的教学要求，希望能起到抛砖引玉的作用，能对初中阶段各个内容的衔接教学起到启发作用。
（五年级）京华小学五年级（2）班同学，分成三个小组到居民楼收集废电池，下表反映的是各小组收集废电池的情况：

  人数 每个小组收集的废电池数（个） 平均每人收集废电池数（个）
合计      
第一组 16 288  
第二组 14 210  
第三组 15 240  

先填表，再回答下面的问题：
（1）    全班平均每人收集废电池多少个？
（2）    哪个小组平均每人收集废电池的个数超过了全班平均数？这说明了什么问题？
（六年级）王成和赵海山分别进行了4次垒球掷远的测验，成绩如下：
第一次          王成20米               赵海山25米
第二次          王成24米               赵海山26米
第三次          王成26米               赵海山20米
第四次          王成30米               赵海山24米
如果既要知道二人每次掷垒球的远近，又要知道两人掷垒球的距离变化的情况和趋势。想一想，用什么样的统计图来反映比较好？根据统计图回答问题：
（1）完成第几次掷得最远？赵海山呢？
（2）王成、赵海山二人平均每次掷多少米？从中可以看出谁的成绩好些？
（3）二人掷垒球的距离是逐次提高的吗？谁越掷越好？
    通过以上两个例题，我们能够大概了解小学五、六年级对统计问题的要求水平。但这只是一个方面，另一个方面是具体的课堂上，小学老师又补充了哪些内容，对于补充的内容要求到什么水平？对于这些问题，还需要进一步对学生进行了解，以便于我们更好地开展衔接教学。
当然，这只是我们需要做的第一步准备工作，在实质性的教学工作中还要注意以下的问题。
2．关注应用性问题的教学的本质
    所谓应用性问题的教学的本质，就是一种“数学化”的过程，是指在应用性问题教学过程中，抓住核心的数学方法，突出数学思想，避免就题论题，避免为了应用而应用。
    比如初中阶段新增的内容——概率的求法。事实上，作为数学体系的一个重要分支，概率的内容虽然相对比较抽象，但其中包含丰富的辨证思想，而且在现实生活中也有着广泛的应用。初三阶段概率的求法主要涉及三个方面，即古典概率、几何概率和统计概率。第一节课是运用列表和画树状图来计算随机事件发生的概率，这是针对古典概型的问题，通过列举所有等可能结果来计算概率。其中，对于有序地、不重不漏地列举所有可能出现的结果，分类的意识至关重要，这种意识也为继续研究古典概率包括高中的排列组合提供了一种思维方法。但是，真正列举事件的结果，学生并没有太多的经验，也很难想到列表和画树状图这些列举方法，这是学生认知上的难点。但是作为教师也不能直接告诉学生怎样列，让学生简单地记忆和模仿。所以在教学过程中要尽量鼓励和引导学生主动探究和建构知识结构，利用分类的方法有序地列举，亲身经历列表和画树状图这两种方法的形成过程，并在应用中逐渐加深理解。这样的教学方法才能更好地突出数学知识的本质，在学生尝试应用的过程中才能更好地理解核心的思想方法。
    又比如有一位教师讲“利用二次函数图象解一元二次不等式”，这节课并不是实际问题应用，而是纯数学知识内部的应用，是教材中的探究内容。这位教师第一次试讲时是从问题：“一元二次方程和二次函数有什么关系？”入手，结果导致学生一上来就感觉比较吃力，整个一节课就比较沉闷。第二次试讲则是通过一道问题来分析一次函数、一次方程和一次不等式的关系，这是学生非常熟知的问题，然后从一次引出二次，观察二次函数图象的特征，探索其二次函数图象与一元二次方程以及一元二次不等式的关系，结果学生很容易理解和接受。这样的处理更符合数学知识的规律，突出了数学思想方法的特征。
    对于以上两个教学内容的处理，教师并没有就题论题，而都是突出了分析、解决问题的数学思想方法，强调了“数学化”的过程，有助于培养和提高学生的数学素养，这是我们所希望看到的情况。
3．关注初中三年的连续性和延展性
    对于应用性问题的教学，作为教师，一定要注意初中三年期间的连续性和延展性，要从整体上有比较细致的规划，在每一个阶段选用什么例题、达到什么水平要做到心中有数，在设计过程中既要考虑数学知识的内在联系，又要考虑学生已有的认知基础，还要考虑到学生后续学习的需要。
比如对于绝对值的概念，初一学生一入学就认识了绝对值，但是
事实告诉我们，学生对于绝对值概念的理解恐怕不是短时期内可以做到的。所以，我们在最初讲解这个概念时，就不能对学生的要求过高，类似“，则     0”这样的题目是需要学生反复理解的；然后在一元一次方程和不等式的解法学习中，我们可以让学生思考如何解“”和“”这样的问题，进一步深化对“绝对值即距离”的认识；在初一期末复习阶段，我们就可以尝试让学生借助绝对值解决某些实际问题，比如“父亲是儿子现在年龄时，儿子已7岁，而当儿子在父亲现在年龄时，父亲将73岁，问父子两人相差几岁？”,借助数轴用方程方法很容易解决此题，同时在让学生进一步领会数轴的意义和作用，同时也为以后进一步利用数轴解决其它问题奠定基础。
    除了数轴之外，还有很多应用性问题也同样面临这样的问题。比如，求可能性和求概率的问题，全等的简单应用和综合应用，解直角三角形的简单应用和综合应用等等，学生都要经历从简单到复杂的过程。
    作为教师，在选题时务必防止“拿来主义”的错误观念。相反，必须要结合学生的基础适当选取例题，在不同的阶段选取不同的例题，在应用过程中既发挥数学知识的作用又让学生体会了重要的数学思想方法，从而真正达到数学应用的目的，更为恰当地培养学生的应用意识。
4．加强阅读能力的培养
    很多数学教师都在抱怨学生理解应用问题的能力差，把原因归结到学生在学习语文阅读时没有学好，事实上，这是两种学科的不同能力。语文阅读能力是最基本的，作为基础学科的要求，是以发展学生的语言智能为出发点，进一步进行辨识、理解等活动。但是要想让学生读懂数学应用题，除了上述的辨识和理解等活动外，还必须进行数学逻辑智能方面的比较、分类、排序、推理等活动。所以，教师应该针对数学学科自身特点，在语文阅读能力的基础上，不断培养学生的数学阅读能力。
    比如，我在讲相似三角形应用时曾经选用过这样的例题：
    例1、教学楼前有一棵树，学习了相似三角形后，同学们想利用树影测量树高.在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁，落在地面上的影长是3.6m，落在墙壁上的影长是1.2m，请你和他们一起算一下树高多少米.
    从题目表面来看，学生不难理解题意，但是读懂题目并不意味着能做出正确的答案。实际授课的结果告诉我，学生对这类问题普遍感到困难，而难点是集中在读题、画图、把已知条件反映到图中的过程。所以我在讲解过程中把重点放在如何根据题意正确地画出图象，也就是从实际问题中抽象出几何模型的过程。
    当然，对于用函数和方程来解题的复杂应用性问题，面临的则是抽象出数量关系，分析题目中的数量关系是这类问题的关键。由此可见，数学的阅读和语文的阅读是两回事，数学的阅读需要一个抽象的过程，这个过程应该是我们引导学生重点要经历的过程。
    那么，到底应该如何引导学生分析问题、提高阅读能力呢？我们认为问题引导式的教学，是一个比较好的解决上述问题的途径。设计什么样的问题，是问题引导式教学实践能够有效开展的关键。问题的盲目性不但不利于学生思维的方向性、对信息采集的目的性，还能够严重地影响课堂教学的效率。学生的思维发展是一个逐渐积累的渐进式的过程，思维发展的品质好坏，关键在于对信息的采集与分析的过程做得是否精细。教师的问题引导，恰好可以帮助学生提高对信息的关注度，提高他们思维的精密性、敏捷性。所以，提问应做到引导学生对审题过程中每个信息做出分析与判断，这是问题引导是教学的关键所在。问题组合要设计地充分，富有层次，逻辑性强和富有启发性。比如下面的问题：
    工人师傅经常利用角尺平分一个任意角。方法是这样的：做任意角∠AOB，分别在OA、OB上，截取线段OD=OE，移动角尺，使角尺两边刻度相同的点，同时落到点D、点E上，这时，做射线OP，则OP使任意角∠AOB的平分线（角尺是成直角的“L”形的钢尺，外部边缘有测量用的刻度）。你能够通过证明说明其中的道理吗？
    在引导学生进行分析时，我  
们就可以采取这样的问题体系：
第一，你从题目中读出了哪些信息？
第二，为什么要“截取线段OD=OE”？
第三，“移动角尺，使角尺两边刻度相同的点，同时落到点D、点E上”，是什么意思？
第四，工人师傅在设计一个什么样的几何情境？
第五，你能够用几何语言将工人师傅的测量方案翻译过来吗？
第六，     根据已知与求证完成证明工人师傅方案设计的合理性。
    通过培养学生逐层提问的意识来提高学生的数学阅读能力，使学生在阅读文字的过程中，逐渐抽象出数学知识，增强把实际问题“数学化”的过程。
四、反思及需要进一步研究的问题
    应用性问题是目前课程改革过程中的一个比较新鲜的课题，是对初中数学教学过程的又一个创新和补充。进行应用性问题的教学，不应该作为一节或几节习题课的形式来完成。对学生能力的培养应该作为每一节课上教师时刻高度关注的教育目标来实现。教师应注重不断提高学生的生活经验，帮助学生不断拓展知识面。否则，应用性问题教学过程中的创新性与实践将无法得到有效地落实。即使以习题课的形式完成新型“应用性问题的习题课教学”对于提高学生“知识服务于生活、与生 产实践”的认识都是无助的。
    以上，对初中的应用性问题教学提出了一些建议。事实上，这些工作仍然有待进一步细化的必要。在初中阶段，如果不考虑探索新的数学知识这一类问题，实际问题比较集中的教学片段主要集中在以下几个内容，即列方程和一元一次不等式（组）解应用题、全等三角形的应用、相似三角形的应用、解直角三角形的应用、函数的应用、概率与统计应用等等。而对于同一内容，在不同的年级又有不同的要求。因此，对于不同年级的不同内容，应该注意什么问题，可以更进一步地提出建议，这是本文不足的地方，也是需要进一步研究的问题。
 
【参考文献】
1．李春花 王曾仪《数学教学》（2005年第10期）“让我们从实际应用中‘寻找’应用题”
2．田中（江苏常熟理工学院数学系）《数学教学》（2004年第10期）“关于应用题教学与应用意识培养的思考”
3．申烨晖（四川省成都铁二院中学）《数学教学》（2005年第11期）“应用题教学中数学阅读能力培养”   
4．阎硕（南京师范大学附属中学（江宁分校））《数学通报》（2005年第8期）“看几道课本应用题”   
5．张奠宙《数学教育经纬》（2003年） 江苏教育出版社