初中数学教学中的函数思想和方程思想

摘要：在初中数学教学中，方程与函数是十分基础且重要的内容.方程函数思想的灵活运用，能够将数学问题化繁为简，令我们的解题思路清晰明了，迅速找到正确合理的解题方法.本文就方程函数思想在初中数学教学中的运用，提出作者肤浅的见解，以期与广大同行交流沟通.

　　关键词：初中数学；方程函数思想；概念；运用
　　一、方程函数思想的概念
　　所谓方程思想，是指以问题的数量关系为切入点，利用题目中所提供的已知条件，通过数学语言，将问题转化为方程（组）、不等式（组）或者方程与不等式的混合组等来求解的方法；所谓函数思想，是指通过构造一次函数、反比例函数、二次函数等来求解的方法.方程与函数虽然是两个不同的概念，但是在具体的解题过程中，二者相互渗透，相辅相成，在一定条件下还可以相互转化.因此，在一般情况下，我们把这两种思想统一起来，称为方程函数思想.
　　二、方程函数思想在初中数学教学中的运用
　　（一）方程函数思想的形成
　　在数学教学中，我们要从以下几个方面入手，帮助学生形成方程函数思想：
　　1. 夯实基础，提高认识
　　在日常教学中，要重视学生对基础知识的掌握，只有将方程、函数、不等式等的性质与用法烂熟于心，才能在具体的解题过程中对其灵活运用，综合把握.
　　2. 提高方程函数思想意识
　　要在日常教学与练习中，着重培养学生运用数学方法去挖掘题目中的隐含条件，进而构建方程或函数的能力.帮助他们在形成解题技巧的同时，提高自身的观察能力、逻辑思维能力和发散思维能力.
　　3. 培养学生创新思维能力
　　数学是十分灵活多变的一门学科，只有不断提高学生的创新思维能力，才能做到触类旁通，举一反三，将公式、定理和已知条件做到活学活用.
　　（二）方程函数思想在初中数学教学中的具体应用
　　下面我们通过一些实例，来具体分析方程函数思想在初中数学教学中的运用.
　　1.利用方程或方程组解题
　　例1现有一“鸡兔同笼”问题，从上面数，有头35个，从下面数，有脚94只，请问笼中有鸡和兔各多少只？
　　解析：要解决这一问题，需要根据已知条件寻求数量上的隐含关系.本题可以用方程或方程组来解决.
　　解法1：假设有鸡x只，则有兔35-x只，得出方程：2x+（35-x）×4=94.
　　解法2：假设有鸡x只，有兔y只，得出方程组：x+y=35；2x+4y=94
　　通过求解方程或者方程组，可以得出有鸡23只，有兔12只.
　　（二）利用函数解题
　　例2赵强拥有一家玩具熊销售公司.他所销售的玩具熊每件进价20元，在销售过程中赵强摸索出每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以用一次函数：y=-10x+500来表示.假设赵强每月的销售利润为M（元），试问每件玩具熊的定价为多少元时，他可获得最大利润？
　　解析：根据题目中所给条件，我们可以得出一个二次函数，通过求解二次函数，可以得到答案.
　　解法：M-（x-20）×y=（x-20）×（-10x+500）=-10x2+700x-10000，x=-b/2a=35.
　　由此得出答案，定价应为35元时，赵强可获得最高利润.
　　（三）利用函数与不等式解题
　　例3接例题2，根据相关规定，赵强所经营的这一类玩具熊每个单价不得超过32元，如果赵强每月想获得不低于2000元的利润，那么每月成本最低需要多少钱？
　　分析：根据已知条件和问题，我们发现，解决这一问题需要利用到一次函数、二次函数和不等式性质三个知识点相结合.
　　解法：因为a=-10<0，所以抛物线的开口向下，所以当30≤x≤40时，M≥2000，因为x≤32，所以当30≤x≤32时，M≥2000.假设成本为Q（元），根据题意可知，Q=20（-10x+500）=-200x+10000，因为k=-200<0，所以Q与x成反比，所以当x=32时，Q的值最小，为3600.
　　（四）利用函数与方程相转化的方法解题
　　在上文中我们提到，在一定条件下，函数与方程可以相互转换.在一些时候，从函数的角度看方程，或者用方程的观点看函数，也能使解题达到事半功倍的效果.
　　例4k取何值时，能令方程x2-3x+k的根一个大于1，一个小于1？
　　分析：从表面上看，这是一个方程问题，然而，如果我们能利用函数的性质来解题，采取数形结合的方法，则可以从很大程度上简化解题过程.
　　解法：由已知条件我们可以将方程x2-3x+k的根看成是使函数y=x2-3x+k=0的值为0的自变量的值，也就是说抛物线与x轴的交点.根据所画抛物线可知，抛物线开口向上，那么当x=1，y<0这一条件成立时即可.也就是说，-2+k<0，得出k<2.
　　总之，在新课程标准指导下的初中数学教学，已经不仅仅满足于教给学生定理、公式及其简单用法的层面，而是要在夯实基础知识的同时，培养学生的逻辑思维能力、发散思维能力和创造力，以及他们运用课堂所学的数学知识，解决生活中实际问题的能力.方程函数思想在初中数学教学中的应用，正是按照新课标的这一要求，让学生在掌握数学知识的同时，对知识能够抽象分析、综合运用，灵活掌握，做到举一反三、游刃有余.